着眼于眼前，不要沉迷于玩乐，不要沉迷于学习进步没有别*的痛苦中，进步是一个由量变到质变的过程，只有足够的量变才会有质变，沉迷于痛苦不会改变什么。高二频道为你整理了《人教A版高二数下面是小编为大家整理的2023年度人教A版高二数学必修四教案,供大家参考。
【导语】着眼于眼前，不要沉迷于玩乐，不要沉迷于学习进步没有别*的痛苦中，进步是一个由量变到质变的过程，只有足够的量变才会有质变，沉迷于痛苦不会改变什么。高二频道为你整理了《人教A版高二数学必修四教案》，希望对你有所帮助！
【篇一】
预习课本P103～105，思考并完成以下问题
1怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
2向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
3向量数量积的性质有哪些？
4向量数量积的运算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的数量积的定义
1两个非零向量的数量积：
已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义a与b的数量积或内积是数量|a||b|cosθ
记法a·b＝|a||b|cosθ
2零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛]1两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
2两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
2．向量的数量积的几何意义
1投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
2数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
[点睛]1b在a方向上的投影为|b|cosθθ是a与b的夹角，也可以写成a·b|a|.
2投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
1a⊥b⇔a·b＝0.
2当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
3a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
4cosθ＝a·b|a||b|.
5|a·b|≤|a||b|.
[点睛]对于性质1，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
4．向量数量积的运算律
1a·b＝b·a交换律．
2λa·b＝λa·b＝a·λb结合律．
3a＋b·c＝a·c＋b·c分配律．
[点睛]1向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
2a·b·c≠a·b·c，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以a·b·c与向量c共线，a·b·c与向量a共线，因此，a·b·c＝a·b·c在一般情况下不成立．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”
1两个向量的数量积仍然是向量．
2若a·b＝b·c，则一定有a＝c.
3若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.
4若a·b＝0，则a⊥b.
答案：1×2×3√4×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a与b的夹角为60°，则a·b＝
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且3a·15b＝－36，则a与b的夹角为
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.
1若θ＝135°，则a·b＝________；
2若a∥b，则a·b＝________；
3若a⊥b，则a·b＝________.
答案：1－3226或－630
向量数量积的运算
[典例]1已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②a＋b·
a－2b．
2如图，正三角形ABC的边长为2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解]1①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②a＋b·a－2b＝a2－a·b－2b2＝16－－4－2×4＝12.
2∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量数量积的求法
1求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
2根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法
运算．
[活学活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
1a·b；2a2－b2；
32a－b·a＋3b．
解：1a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
2a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
32a－b·a＋3b＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
与向量的模有关的问题
[典例]1浙江高考已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
2已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
[解析]1令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·e1－e2＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
从而|b|＝1cos30°＝233.
2∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案]1233232
求向量的模的常见思路及方法
1求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
2a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[活学活用]
已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝a＋b2＝a＋ba＋b
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝a－b2＝a－ba－b
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝2a＋b2a＋b
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.
两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1．重庆高考已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥2a＋b，则a与b的夹角为
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：选C∵a⊥2a＋b，∴a·2a＋b＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
题点二：证明两向量垂直
2．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：a＋b⊥a－b．
证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴2a＋b2＝a＋2b2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴a＋b·a－b＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
∴a＋b⊥a－b．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：选B∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴3a＋2b·ka－b＝0，
∴3ka2＋2k－3a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.
求向量a与b夹角的思路
1求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
2在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．
层级一学业水平达标
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：选C由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于
A．3B.92
C．2D.12
解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：选B∵c·d＝0，
∴2a＋3b·ka－4b＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝
A．37B．13
C.37D.13
解析：选C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：选B∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则2e1－e2·－3e1＋2e2＝________.
解析：2e1－e2·－3e1＋2e2＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴a＋b·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的
夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝2e1＋e22＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝2e2－3e12＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
1求a与b的夹角θ；
2求a－2b·b；
3当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：1∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
2a－2b·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
3∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴λa＋b·a－3b＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
层级二应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为π3，则向量m＝a－4b的模为
A．2B．23
C．6D．12
解析：选B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：选D法一：因为cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故选D.
法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝|cosA＝||2＝16，故选D.
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝
A．1B.3
C.5D．3
解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：选C·＝AB―→＋12AD―→·－
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a－b⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又a－b·c＝0，∴a－b·－a－b＝0，即a2＝b2.
则c2＝a＋b2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
a－b⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·2a－3b＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·2a－3b＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2舍负，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，a－b·a＋b＝12，且a·b＝12.
1求向量a，b的夹角；2求|a－b|.
解：1∵a－b·a＋b＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夹角为45°.
2∵|a－b|2＝a－b2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|<0.即
2te1＋7e2·e1＋te2<0，化简即得
2t2＋15t＋7<0，解得－7 当夹角为π时，也有2te1＋7e2·e1＋te2<0， 但此时夹角不是钝角， 设2te1＋7e2＝λe1＋te2，λ<0，可得 2t＝λ，7＝λt，λ<0，⇒λ＝－14，t＝－142. ∴所求实数t的取值范围是 －7，－142∪－142，－12. 【篇二】 [新知初探] 平面向量共线的坐标表示 前提条件a＝x1，y1，b＝x2，y2，其中b≠0 结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、bb≠0共线 [点睛]1平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2＝y1y2x2≠0，y2≠0，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例； 2当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0⇔a∥b. [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×” 1已知a＝x1，y1，b＝x2，y2，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1. 2向量2,3与向量－4，－6反向． 答案：1√2√ 2．若向量a＝1,2，b＝2,3，则与a＋b共线的向量可以是 A．2,1B．－1,2C．6,10D．－6,10 答案：C 3．已知a＝1,2，b＝x,4，若a∥b，则x等于 A．－12B.12C．－2D．2 答案：D 4．已知向量a＝－2,3，b∥a，向量b的起点为A1,2，终点B在x轴上，则点B的坐标为________． 答案：73，0 向量共线的判定 [典例]1已知向量a＝1,2，b＝λ，1，若a＋2b∥2a－2b，则λ的值等于 A.12B.13C．1D．2 2已知A2,1，B0,4，C1,3，D5，－3．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ [解析]1法一：a＋2b＝1,2＋2λ，1＝1＋2λ，4，2a－2b＝21,2－2λ，1＝2－2λ，2，由a＋2b∥2a－2b可得21＋2λ－42－2λ＝0，解得λ＝12. 法二：假设a，b不共线，则由a＋2b∥2a－2b可得a＋2b＝μ2a－2b，从而1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与a＋2b∥2a－2b矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案]A 2[解]＝0,4－2,1＝－2,3，＝5，－3－1,3＝4，－6， ∵－2×－6－3×4＝0，∴，共线． 又＝－2，∴，方向相反． 综上，与共线且方向相反． 向量共线的判定方法 1利用向量共线定理，由a＝λbb≠0推出a∥b. 2利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [活学活用] 已知a＝1,2，b＝－3,2，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？ 解：ka＋b＝k1,2＋－3,2＝k－3,2k＋2， a－3b＝1,2－3－3,2＝10，－4， 若ka＋b与a－3b平行，则－4k－3－102k＋2＝0， 解得k＝－13，此时ka＋b＝－13a＋b＝－13a－3b，故ka＋b与a－3b反向． ∴k＝－13时，ka＋b与a－3b平行且方向相反． 三点共线问题 [典例]1已知＝3,4，＝7,12，＝9,16，求证：A，B，C三点共线； 2设向量＝k,12，＝4,5，＝10，k，当k为何值时，A，B，C三点 共线？ [解]1证明：∵＝－＝4,8， ＝－＝6,12， ∴＝32，即与共线． 又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线． 2若A，B，C三点共线，则，共线， ∵＝－＝4－k，－7， ＝－＝10－k，k－12， ∴4－kk－12＋710－k＝0. 解得k＝－2或k＝11. 有关三点共线问题的解题策略 1要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线； 2使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式． [活学活用] 设点Ax,1，B2x,2，C1,2x，D5,3x，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？ 解：＝2x,2－x,1＝x,1， ＝1,2x－2x,2＝1－2x,2x－2， ＝5,3x－1,2x＝4，x． 由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2. 又与方向相同，所以x＝2. 此时，＝2,1，＝－3,2， 而2×2≠－3×1，所以与不共线， 所以A，B，C三点不在同一条直线上． 所以A，B，C，D不在同一条直线上． 向量共线在几何中的应用 题点一：两直线平行判断 1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC； 证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系， 设||＝1，则||＝1，||＝2. ∵CE⊥AB，而AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形， ∴可求得各点坐标分别为E0,0，B1,0，C0,1，D－1,1． ∵＝－1,1－0,0＝－1,1， ＝0,1－1,0＝－1,1， ∴＝，∴∥，即DE∥BC. 题点二：几何形状的判断 2．已知直角坐标平面上四点A1,0，B4,3，C2,4，D0,2，求证：四边形ABCD是等腰梯形． 证明：由已知得，＝4,3－1,0＝3,3， ＝0,2－2,4＝－2，－2． ∵3×－2－3×－2＝0，∴与共线． ＝－1,2，＝2,4－4,3＝－2,1， ∵－1×1－2×－2≠0，∴与不共线． ∴四边形ABCD是梯形． ∵＝－2,1，＝－1,2， ∴||＝5＝||，即BC＝AD. 故四边形ABCD是等腰梯形． 题点三：求交点坐标 3.如图所示，已知点A4,0，B4,4，C2,6，求AC和OB交点P的坐标． 解：法一：设＝t＝t4,4 ＝4t,4t， 则＝－＝4t,4t－4,0＝4t－4,4t， ＝－＝2,6－4,0＝－2,6． 由，共线的条件知4t－4×6－4t×－2＝0， 解得t＝34.∴＝3,3． ∴P点坐标为3,3． 法二：设Px，y， 则＝x，y，＝4,4． ∵，共线， ∴4x－4y＝0.① 又＝x－2，y－6，＝2，－6， 且向量，共线， ∴－6x－2＋26－y＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为3,3． 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 层级一学业水平达标 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 A．e1＝0,0，e2＝1，－2 B．e1＝－1,2，e2＝5,7 C．e1＝3,5，e2＝6,10 D．e1＝2，－3，e2＝12，－34 解析：选BA中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B. 2．已知点A1,1，B4,2和向量a＝2，λ，若a∥，则实数λ的值为 A．－23B.32 C.23D．－32 解析：选C根据A，B两点的坐标，可得＝3,1， ∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A2，－1，B3,1，则与平行且方向相反的向量a是 A．2,1B．－6，－3 C．－1,2D．－4，－8 解析：选D＝1,2，向量2,1、－6，－3、－1,2与1,2不平行；－4，－8与1,2平行且方向相反． 4．已知向量a＝x,2，b＝3，－1，若a＋b∥a－2b，则实数x的值为 A．－3B．2 C．4D．－6 解析：选D因为a＋b∥a－2b，a＋b＝x＋3,1，a－2b＝x－6,4，所以4x＋3－x－6＝0，解得x＝－6. 5．设a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，则锐角α为 A．30°B．60° C．45°D．75° 解析：选A∵a∥b， ∴32×13－tanαcosα＝0， 即sinα＝12，α＝30°. 6．已知向量a＝3x－1,4与b＝1,2共线，则实数x的值为________． 解析：∵向量a＝3x－1,4与b＝1,2共线， ∴23x－1－4×1＝0，解得x＝1. 答案：1 7．已知A－1,4，Bx，－2，若C3,3在直线AB上，则x＝________. 解析：＝x＋1，－6，＝4，－1， ∵∥，∴－x＋1＋24＝0，∴x＝23. 答案：23 8．已知向量a＝1,2，b＝－2,3，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________． 解析：∵a＝1,2，b＝－2,3， ∴a＋b＝1,2＋－2,3＝－1,5， λa＋μb＝λ1,2＋μ－2,3＝λ－2μ，2λ＋3μ， 又∵λa＋μb∥a＋b， ∴－1×2λ＋3μ－5λ－2μ＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ 9．已知A，B，C三点的坐标为－1,0，3，－1，1,2，并且＝13，＝13，求证：∥. 证明：设E，F的坐标分别为x1，y1、x2，y2， 依题意有＝2,2，＝－2,3，＝4，－1． ∵＝13，∴x1＋1，y1＝132,2． ∴点E的坐标为－13，23. 同理点F的坐标为73，0，＝83，－23. 又83×－1－4×－23＝0，∴∥. 10．已知向量a＝2,1，b＝1,1，c＝5,2，m＝λb＋cλ为常数． 1求a＋b； 2若a与m平行，求实数λ的值． 解：1因为a＝2,1，b＝1,1， 所以a＋b＝2,1＋1,1＝3,2． 2因为b＝1,1，c＝5,2， 所以m＝λb＋c＝λ1,1＋5,2＝λ＋5，λ＋2． 又因为a＝2,1，且a与m平行， 所以2λ＋2＝λ＋5，解得λ＝1. 层级二应试能力达标 1．已知平面向量a＝x,1，b＝－x，x2，则向量a＋b A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 解析：选C因为a＋b＝0,1＋x2，所以a＋b平行于y轴． 2．若A3，－6，B－5,2，C6，y三点共线，则y＝ A．13B．－13 C．9D．－9 解析：选DA，B，C三点共线， ∴∥，而＝－8,8，＝3，y＋6， ∴－8y＋6－8×3＝0，即y＝－9. 3．已知向量a＝1,0，b＝0,1，c＝ka＋bk∈R，d＝a－b，如果c∥d，那么 A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：选D∵a＝1,0，b＝0,1，若k＝1，则c＝a＋b＝1,1，d＝a－b＝1，－1，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝－1,1，d＝a－b＝－－1,1，即c∥d且c与d反向． 4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为－1,0，3,0，1，－5，则第四个顶点的坐标是 A．1,5或5,5 B．1,5或－3，－5 C．5，－5或－3，－5 D．1,5或5，－5或－3，－5 解析：选D设A－1,0，B3,0，C1，－5，第四个顶点为D， ①若这个平行四边形为▱ABCD， 则＝，∴D－3，－5； ②若这个平行四边形为▱ACDB， 则＝，∴D5，－5； ③若这个平行四边形为▱ACBD， 则＝，∴D1,5． 综上所述，D点坐标为1,5或5，－5或－3，－5． 5．已知＝6,1，＝x，y，＝－2，－3，∥，则x＋2y的值为________． 解析：∵＝＋＋＝6,1＋x，y＋－2，－3 ＝x＋4，y－2， ∴＝－＝－x＋4，y－2＝－x－4，－y＋2． ∵∥， ∴x－y＋2－－x－4y＝0，即x＋2y＝0. 答案：0 6．已知向量＝3，－4，＝6，－3，＝5－m，－3－m．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________． 解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线． ∵＝－＝3,1，＝－＝2－m,1－m， ∴31－m≠2－m，即m≠12. 答案：m≠12 7．已知A1,1，B3，－1，Ca，b． 1若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系； 2若＝2，求点C的坐标． 解：1若A，B，C三点共线，则与共线． ＝3，－1－1,1＝2，－2，＝a－1，b－1， ∴2b－1－－2a－1＝0，∴a＋b＝2. 2若＝2，则a－1，b－1＝4，－4， ∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3， ∴点C的坐标为5，－3． 8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A2,6，B6,4，C5,0，D1,0，求直线AC与BD交点P的坐标． 解：设Px，y，则＝x－1，y， ＝5,4，＝－3,6，＝4,0． 由B，P，D三点共线可得＝＝5λ，4λ． 又∵＝－＝5λ－4,4λ， 由于与共线得，5λ－4×6＋12λ＝0. 解得λ＝47， ∴＝47＝207，167， ∴P的坐标为277，167. 【2023年度人教A版高二数学必修四教案】相关文章：
