根与系数的关系教材分析（19篇）根与系数的关系教材分析 备课日期： 上课日期： 主备人： 教案序号： 课题 一元二次方程根与系数的关系 课型 新授 教学目标 1．知识与技下面是小编为大家整理的根与系数的关系教材分析（19篇）,供大家参考。
篇一：根与系数的关系教材分析
备课日期：
上课日期：
主备人：
教案序号：
课题
一元二次方程根与系数的关系
课型
新授
教学目标
1．知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系式，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．2．过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，渗透由特殊到一般的数学思想．在应用关系解题的过程中，培养学生解决问题能力和问题的转化能力．3．情感态度：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度．体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心．
教学重点
一元二次方程根与系数的关系．
教学难点
让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学
生真正掌握有一定的难度，是教学的难点．
教具
三角板、电子白板
一元二次方程根与系数的关系
如果ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2，那么x1+x2=
，x1x2=
．
板书设计
问题6．你知道在方程ax2bxc0(a0)中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b24ac可判定根的情况；
④当a≠0，b²-4ac≥0时，x1+x2=
，x1x2=
．
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0．
教学内容
教法学法
集体备课修改
一、温故知新1．一元二次方程的一般形式是什么？2．一元二次方程求根公式的是什么？3．一元二次方程的解的情况怎样确定？
学生能自主回答，让学生了解知识的衔接性，培养学生循序渐进地学习
问题引探解下列方程：
x2+5x+6=03x2-x-1=0
x2-4x+3=0
3x2+x-2=0
1．通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两
并根据问题2和以上的求解，根之积，启发学生从中发现存
你能发现两根之和、两根之积在的一般规律，渗透特殊到一
与方程的系数之间有什么关般的思考方法．
系吗？
2．此得出一元二次方程的根
问题4．请根据以上的观察发与系数的关系；还可以让学生
现并进一步猜想：方程用自己的语言表述这种关系，
ax2bxc0(a0)的根x1，
来加深理解和记忆．3．这个关系是一个法国
x2与a、b、c之间的关系：
数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理，并简单介绍韦
____________．
达,让学生了解数学史,激发学
生学科学，爱科学的热情
问题5．你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明．分小组讨论以上的问题，并作出推理证明
教学内容
教法学法
集体备课修改
问题6．你知道在方程
ax2bxc0(a0)中，a、b、
c的作用吗？（引导学生反思
性小结）
①二次项系数a是否为零，决采用“实践——观察——发现定着方程是否为二次方程；②当a≠0时，b=0，a、c异号，——猜想——证明”的过程，
方程两根互为相反数；
使学生既动手又动脑，且又动
③当a≠0时，△=b²-4ac可判口，教师引导启发，避免注入
定根的情况；
式地讲授一元二次方程根与系
④当a≠0，b²-4ac≥0时，x1数的关系，体现学生的主体学
+x2=
，x1x2
=
．
⑤当a≠0，c=0时，方程必有
一根为0．
习特性，培养了学生的创新意识和创新精神
此试一试、巩固知识
尝试发展1．根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2-3x-+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0
（4）3x2=1
教学内容
教法学法
集体备课修改
拓展创新
培养学生对知识的灵活运用．
运用1．求方程另一根及k的值1．已知方程3x2-19x+m=0的一个已知方程5x2+kx-6=0的一个根根是1，它的另一个根是________，
是2，求它的另一个根及k的值．m的值是________．
2．已知3-2是方程x2+mx+7=0的
一个根,则m=________,另一根为
_______．
运用2．利用根与系数的关系，
求一元二次方程2x2+3x-1=0的两x12x22(x1x2)22x1x2个根的（1）平方和，（2）倒数和．11x1x2讨论：解上面问题的思路是什x1x2=x1x2
么？
师生共同归纳小结
本课收获是什么？有什么感悟等？让学生谈谈本节课的收获与体会．
教后记：
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，
考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分．
一元二次方程根与系数的关系学情分析新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生，已经学完了一元二次方程的解法，具备了本节课所需要的预备知识，同时也有了一定的分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成。随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。但由于年龄的原因，学生思维虽然活跃、敏捷，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严密、意志比较薄弱等不足也伴随这一阶段的初中生的分析、解决问题当中。
篇二：根与系数的关系教材分析
一元二次方程的根与系数的关系教学设计
一：教材分析：本部分内容为选学内容，供有能力的学生学习。但是考虑到解题的需要以及
为高中打好基础，我觉得有必要给学生讲解一下。一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过1个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。学习了本节内容后可以使学生更加灵活的运用这一关系解题。二：学情分析：
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2.本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
4．部分学生在学习了这一关系后感觉到了它的强大的解题的作用，可以激发学生进一步去探索其他规律的欲望。
三：教学任务分析
1、理解掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根
和与两根积。知识技能目
标2、能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解
教
决一些简单的有关一元二次方程的问题。
学
目
1、通过计算、比较、分析、归纳得出根与系数关系，使学生体会从特殊到一般的数学
过程与方法认知过程。
标
目标
2、通过小组合作，培养学生的合作意识。
情感态度目1、利用韦达定理渗透爱国主义精神教育。
标
重点难点
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程根与系数的关系结论的论证
四：教学流程安排
活动流程活动1、复习相关知识导入新课。
活动2、探究根与系数关系。
活动3、论证根与系数关系结论。活动4、根与系数关系的应用。活动5、课堂小结、布置作业。
五：教学过程
活动内容及目的通过对对相关知识的复习，目的在巩固旧知并为后续学习打铺垫。计算、分析、发现根与系数关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会有特殊到一般的认知过程。
探究根与系数关系的结论。培养学生严谨的学习态度。
反馈练习，加深对结论的理解和应用。回顾梳理本节的学习内容，使知识系统化，形成技能。
一、复习相关知识（以问题串的形式复习下列知识，学生口答或抢答）
1、一元二次方程的一般式？ax2+bx+c=0(a≠0)
（板书）
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？(△b2-4ac≥0)
3、当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？
4、一元二次方程的求根公式是什么？二、探究根与系数关系
由求根公式可知，一元二次方程的根由系数a、b、c确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来探究“一元二次方程的根与系数之间的其他关系”。
（板书课题）一元二次方程的根与系数关系
1、计算填表（出示，6分钟学生完成）
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+4=06x2+x-2=02x2-3x+1=0
师：问题：1、谁能发现上述方程两根和、两根积与系数a、b、c的关系？（小组成员合作交流归纳，3分钟后回报发现，并肯定学生们的正确发现。）
（两根和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；而两根积等于常数项除以二次项系数所得的商。）
师：刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？
2、（根据发现的结论填空）
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的有根x1,x2，
那么
，
。
三、论证结论：（板书）证明：当△＞0时，由求根根式得：
有此可见，这个结论对于一般的一元二次方程也成立。这个结论又称“韦达定理”，因为是法国数学家韦达最早发现的。（学生识记结论1分钟）
(设计意图)本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。四、根与系数关系的应用
（出示）例题：根据一元二次方程的根与系数关系，求下列方程两根x1、x2的和与积，并解方程验证。
五、课堂小结:
1、本节课你学到了那些知识？（学生小结，学生补充）
师：根与系数关系可以用来求两根和、两根积，还可以验算所求的根是否正确，更重要的是可以简捷地解决一些有关一元二次方程的问题。
六、布置作业
必做题：教材P43第7题
选做题：1、已知方程3x2-5x+m=0的一个根为1，不解方程求方程的另一个根及m的值。
2：已知一元二次方程2x2-5x-4=0的两个实数根为x1、x2.
求（1）1⁄x1+1⁄x2
(2)x1x2
设计意图：必做题为巩固本节根与系数关系基础知识，选做题为基础较好学有余力的同学设计，发展智力，提高学习的能力。
篇三：根与系数的关系教材分析
课题
基本信息
18.4一元二次方程根与系数的关系（沪科版八年级上册第十八章第4节）
教材分析
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过3个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重点和难点
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
教学过程教学环节
问题引探
教师活动
预设学生行为
设计意图
解下列方程：2x2+5x+3=03x2-2x-8=0
此得出一元二
并根据问题2和以上的求解填写下表
次方程的根与系数的若方程ax2+bx+c=0（a≠0）关系；还可以让学生
请观察上表，你能发现的两根为
用自己的语言表述这
两根之和、两根之积与方程的x1=
系数之间有什么关系吗？
x2=
问题4.请根据以上的则
，种关系，来加深理解。和记忆。
这个关系是一
观察发现进一步猜想：方程x1+x2=
+
ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，=
；
x2与a、b、c之间的关系：x1x2=
·
____________。
个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
问题5.你能证明上面
的猜想吗？请证明，并用文字
语言叙述说明。
分小组讨论以上的问
题，并作出推理证明。
探索发现
问题6.在方程
ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、
c的作用吗？（引导学生反思
性小结）
①二次项系数a是否为
零，决定着方程是否为二次方
程；
②当a≠0时，b=0，a、
c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△
=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0
时，x1+x2=
，
x1x2=
。
⑤当a≠0，c=0时，方
程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
尝试发展
拓展创新师生共同归纳小结
1）2x2-3x+1=0
x1+x2=________
x1x2=_________
（2）3x2+5x=0
根据根与系数的关系写x1+x2=________
出下列方程的两根之和与两x1x2=__________
此试一试、巩固
根之积（方程两根为x1，x2、
（3）5x2+x-2=0
k是常数）
x1+x2=_________
知识
x1x2=__________
（4）5x2+kx-6=0
x1+x2=_________
x1x2=__________
利用根与系数的关系，求
一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。
讨论：解上面问题的思路
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;
将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式
是什么？
1、方程的根是由系数决
定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。
本课主要研究了什么？
3、当a≠0，b2-4ac≥0时，
x1+x2=
，x1x2=
。
4、b2-4ac的值可判定根的情
回顾总结
况。5、方程根与系数关系的有关应用。
板书设计
一元二次方程根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，
那么x1+x2=
，x1x2=
。
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=
，x1x2=
。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生学习活动评价设计
本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力
教学反思
1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能
力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师
篇四：根与系数的关系教材分析
精品文档
一元二次方程的根与系数的关系
教材分析：中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲
线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．
学情分析:1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全
可能的。2.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
教学目标
知识目标：1.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力2.掌握一元二次方程的根与系数的关系．
能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展
推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
情感目标:
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式，培养学生用辨证思想认识事物.
教学重点和难点
重点：一元二次方程根与系数的关系;难点：如何通过求根公式发现韦达定理，正确理解根与系数的关系.
教学关键:1.激发学生对根与系数关系的求知欲望;2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系
教学过程一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。。。，对于我来说
年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我们现在在学习一元二次方程，我的年
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龄是x227x1800的两根之和，你们猜一猜，不解方程，能不能求出陈老师的年龄。由求根公式可知，一元二次方程的根仅仅由系数a、b、c确定，换句话,就是说根与系数有密切的关系，当然这种根与系数的关系不容易立刻被发现。我们用配方法、因式分解法等措施求出根。除此之外，一元二次方程的两个根与系数到底还有没有其他关系？
二、探索发现活动任务：全班同学在课本中找出已经整理成一般式的一元二次方程，并且最好是已经确定两根的方程。一般来说，学生会优先选取一元二次方程系数a、b、c为整数的并且跟也为整数的方程，教师在此进行引导，要求尽可能的找出各种类型的例子，例子包括系数a、b、c为正数、负数、0；根为正数、负数顿好的。学生若没有提出，老师在表格中补充。小组讨论前后间四人小组合作，老师思路引导：代数学科中数与式的结构编排，让我们想到了两根运算上的最简单的组合：和差积商。刚才所列举的数中，观察这两数的和差积商，思考根与系数还有什么密切关系？
一元二次方程x1
x2
x1x2x1x2x1x2
x1
x2
两根同号
两根异号
有一根为0根为无理数
初步感知：学生很容易发现两个之和与两根之积关系很明显，但是两根之差和两根只商可以看出有关系，不过没有办法具体确定x1、x2分别等于几，因此
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差商不在本节课的谈论范围中。学生的猜想可能是：两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项。当然会有学生质疑，他们提出二次项系数不为1的一元二次方程。教师顺势说明当系数为1的情况是什么，再讨论系数不为1的情况。知识初探：问题（1）关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两
根x1，x2与系数p,q之间有什么关系？怎么表示两根？学生探索得到：关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两根x1，x2与系数p,q的关系是：
x1x2p，x1x2q。反问学生你是怎么发现的？这个关系合理吗？你能试着证明吗？设计目的是训练学生从合情推理到演绎推理。。。学生讲证明思路。（用求根公式直接的两根，或配方法得到均可）
px
p22
4q
，推导出x1x2，x1x2
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程
二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
知识再探：问题（2）关于x的方程ax2bxc0(a0)的两根x1，x2与系数
a,b,c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
形如ax2bxc0(a0)的方程，如果b24ac0，两根为x1，x2，引导
学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。放手给学生做，最后总结为两种做法：①可以先将方程转化为二次项系数为
1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2bxc0(a0)
∵a0
∴x2bxc0aa
∴x1
x2
ba
，
x1x2
ca
②利用求根公式给出证明。（思路点拨即可）
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证明：∵ax2bxc0(a0)，当b24ac0时根为：
xbb24ac2a
设x1b
b22a
4ac
，x2
b
b24ac，则2a
∴x1x2b
b24acb2a
b24ac2bb
2a
2aa
x1x2b
b24acb2a
b24acb2(b24ac)4acc
2a
4a2
4a2a
介绍韦达：
练习：1.下列方程你能得出他们的两根之和与两根之积吗？
x24x30
2x24x10
x22x30
首尾呼应：现在你知道陈老师的年龄是多少了吗？x227x1800，两根之和等于27.
学生思考、归纳并回答下列问题：(1)小结根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？利用方程得到两根之和两根之积，知道两根之和和两根之积求方程。若a1，先把二次项系数化为1.（2）运用根与系数的关系要注意些什么？
篇五：根与系数的关系教材分析
今天我要说课的内容是“一元二次方程的根与系数的关系”。其实本节内容在湘教版数学教材中并没有安排专门的章节进行学习，只在九年级上册的复习题一的C组题中有简单介绍，但在《数学学法大视野》中却有不少的相关题型，在中考中也有涉及，由此可以看出本节内容的重要性。下面我将从以下几个方面介绍我的教学构想。一、教材分析：1、地位和作用
一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，也是方程理论的重要组成部分。2、教学重点难点
重点：根与系数的关系及其推导。
难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。
二、目标分析:1、知识目标：
掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用。2、能力目标：
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力，提高学生推理论证的能力。3、情感目标：
在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
三、教法、学法分析：
为了体现课改中“以学生为主体”的教育理念，在课程的引入和新授中充分地考虑在学生已有知识与新知识间架起一座桥梁，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
采用“复习——探索发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手，参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。
学生通过对所提问题的求解，在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系。从已知两根构造方程引入，积极配合使学生能观察出所给出的两根与所作方程系数的关系。比原先求出两根，验证两根之和，之积的难度提高了，但数学思维品质也相对提高了。实践证明，只要教学语言使用得当，问题情境设计得好，学生是能够从题目中去获得发现的。
四、过程分析:
为遵循学生的认识规律，体现学生的主动性，我的设计意图是以创设“学习环境”为主要任务，以主动学习为核心的教学操作策略，教学过程设计体现以知识为载体，思维为主线，能力为目标的原则。1、创设情景，导入新知首先让学生回忆一元二次方程的求解方法，写出它的一般形式和求根公式，然后解几个一元二次方程。这一环节一是为了复习前面所学的内容，二是为抛出问题引入新的学习内容作好铺垫。2、引发思考，探索新知
引导他们经历一元二次方程根与系数的关系的形成过程，体验新的知识是从已有的知识中自然地“长”出来的。探究的过程，我给学生设计了“解——算——验证——推导”的模式，最终得出一元二次方程根与系数的关系。3、知识应用
解决实际问题，是学习知识的最终目的，也是知识的生命所在，这样才能将新知识真正融入已有的知识体系中。在这里我设置了三个例题，主要是为了及时巩固新知，引导学生正确书写，进一步加深对一元二次方程根与系数的关系的理解。4、达标测试
学以致用，最后我设计了4个小题通过学生独立完成来进一步体现学生对所学知识的掌握情况。以便课下做实时的辅导训练。
5、小结提高
(1)．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．
(2)．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．6、布置作业必做题
(1).已知x1，x2是方程-2x2+5x+6＝0的两个根，则x1+x2=，x1x2=。
(2)．已知方程2x2
-7x＋m＝0的根是4，求它的另一根及m的值．选做题
(3).方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
7、板书设计
篇六：根与系数的关系教材分析
一元二次方程的根与系数的关系
课标要求及分析：《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》与数学课程标准第三学段的一、数与代数（二）方程与不等式1方程与方程组中的（9）了解一元二次方程的根与系数的关系。分析：这是一条结果性目标，行为动词是了解，要求达到的水平是了解水平,学习内容是一元二次方程的根与系数的关系；教材分析：一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过练习介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。学情分析：优势：学生已学习用求根公式法解一元二次方程。教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，比较容易归纳出根与系数的关系。劣势：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是学生理解的难点。教学重点、难点：课标要求：了解一元二次方程的根与系数的关系。教材分析中指出：通过具体实例对特殊的一元二次方程的两根的关系的探究得到根与系数的关系，所以通过对课标与教材的分析，确定教学重点是：根与系数的关系的推导与运用。课标要求：了解一元二次方程的根与系数的关系，根据学情分析：学生对根与已知方程的系数进行比较和归纳，发现关系，比较抽象，所以通过对课标与学情的分析，确定教学难点是：根与系数的关系的推导。学习目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系并会运用2、体验：观察—发现—猜想—验证的思维转化过程3、掌握由特殊到一般的数学思想方法，发扬勇于探索的精神教学流程：活动一：复习引入（预设时间4分钟）1.一元二次方程的一般形式是什么？由每组的3，4号学生回答
ax2bxc0a0
2.一元二次方程的解法有几种，分别是什么？
（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法
3.一元二次方程的求根公式
bb24acx
0
2a
一元二次方程的求根公式不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系。一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？从而引出课题。
【点评：通过复习旧知，复习一元二次方程的一般形式和解法，帮助学生回忆旧知，为本节课学习根与系数的关系做铺垫。】
活动二：探究新知（预设时间12分钟）解下列方程并完成填空：（学生通过计算，填此表格）
方程
两根
两根
两根之
之和
积
x1
x2
x1+x2
x1x2
a与b之间关系
a与
c之间关
系
x2-7x+12=0
x2+3x-4=03x2-4x+1=0
ax2bxc0a0
观察表格所填的数，你发现了什么？学生通过填写表格前三行，从而自行总结出最后一
行的结论。
【点评：本设计采用观察、计算、思考、归纳的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，
教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，
培养了学生的创新意识和创新精神。】
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,
x2
b,那么x1+x2=—a
,x1x2
c=a
学生背诵关系，反复记忆，教师点拨，用公式的大前提是：0
【点评：让学生通过探究问题体会从特殊到一般的认知过程，通过背诵关系，加深理解
和记忆】
一元二次方程的根与系数的关系常常也称作韦达定理，介绍定理的由来：韦达,法国数
学家。年轻时当过律师，后来致力于数学研究，他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方
程根与系数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为‘韦达定理’)，
韦达在欧洲被尊称为‘代数学之父’。
【点评：通过人物介绍，使学生了解定理的由来，培养学生探究能力、归纳能力和创新
能力】
活动四：学以致用（预设时间10分钟）
例:根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积
(1)x2-6x-15=0
解：a=，b=，c=
X1+X2b=
=
，
X1X2=c=a
a
(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2(4)
2x2-6x=0(5)
3x2=4
【点评：通过例题的教学，加深对跟与系数关系的理解，培养学生应用意识及能力，及
时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用意识，培养独立思考能力】
师生共同对学生板演的过程进行点拨，学生总结应注意的事项;
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑵不是一般式的要先化成一般式；
b
⑵在使用X1+X2=－
a
时，注意“－”不要漏写。
【点拨：通过点拨和总结，使学生对根与系数关系的理解提高认识和理解】
活动五：能力提升（预设时间6分钟）
方程2x2-3x+1=0的两根记作x1，x2，不解方程，求
（1）11
（2）(x11)(x21)
【点评：x1巩固x根2与系数的关系的同时，增强学生的应用意识，提高学生分析问题解决问
题的能力，以及对知识的整合能力，通过学生的讲解，培养学生思维逻辑的缜密性】
活动六：总结收获（预设时间3分钟）
学生谈一谈，本节课主要的收获，以及还存在哪些问题？
【点评：通过总结归纳，巩固知识点的同时，加深对实际问题的理解】
活动七：当堂检测，反馈效果（预设时间5分钟）
教材17页第7题。
总体点评：
本节课教师基于学生是“数学学习的主人”这一教学理念，从学生的认知发展水平和已
有知识经验出发，组织学生探究观察、归纳、猜想、论证一元二次方程的根与系数的关系.
在设计中，注重以下几点：
（一）数学思维的体操得到充分展示。课上学生一直都地思考问题，都在想方设法地探
求解决问题的对策。
（二）注重学生对问题的理解，在一开始设计的表格主要是帮助学生分析、发现、归纳
根与系数的关系。充分展示从问题出发寻找解决问题的途径和对策，定位准确、立意新颖、
篇七：根与系数的关系教材分析
《一元二次方程根与系数关系》说课稿
各位老师：大家好！
今天我说课的题目是一元二次方程根与系数的关系，我讲的是第一课时。对于本节课，我将从以下几个方面进行讲解。第一部分：教材分析一、教材的地位和作用本节课在教材中是初中数学八年级第一学期一元二次方程中的重要内容之一，他是在研究一元二次方程的求根公式之后对于一元二次方程根与系数关系的进一步的拓展与研究。他是今后研究一元二次方程的根与系数问题的重要依据，同时也为高中直线与圆锥曲线的位置关系打下了坚实的基础。二、教材安排本节课从探究一元二次方程根与系数问题出发，让学生经历发现研究到加以验证的过程，再通过一些例题和作业的练习对这个关系式加以增强与巩固。目的就是活跃上课气氛的同时也活跃了学生的思维，让他们能够通过独立思考和合作探究的过程养成分析问题解决问题的能力并且同时培养学生的团队合作精神。三、教学目标1、经历观察、分析和发现一元二次方程的根与系数关系并导出定理的过程，感受一元二次方程根与系数关系的简洁、和谐之美。2、掌握一元二次方程的根与系数关系的定理，并会将其用于求解一
元二次方程中已知一个根求另一个根和未知系数的值和求关于一元二次方程两根的平方和、倒数和的值，以及构建其根符合已知条件的一元二次方程等。3、在经历数学活动和解决问题的过程中，体会自主探索、合作交流的精神，同时也能够领会化归的数学思想。四、教学重难点重点：一元二次方程根与系数关系式的探究、发现，及对于关系式的简单应用。难点：一元二次方程根与系数关系式从特殊到一般的过程的探究与发现。第二部分：教法分析根据学生的年龄特点和心理规律，在教学过程中我主要采用的是以组为单位合作交流、探究发现的方法，以问题引发学生的求知欲，并给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，使其体会到数学学习探索的乐趣。第三部分：学法分析针对教法，让学生在探索过程中，不但增强了同学之间的合作精神，也能够初步理解对于一般的问题可以考虑先将其化为特殊情况，再从特殊总结到一般的解题思路和想法，并运用到今后的学习中。
篇八：根与系数的关系教材分析
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
教材分析：中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲
线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．
学情分析:1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全
可能的。2.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
教学目标
知识目标：1.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力2.掌握一元二次方程的根与系数的关系．
能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展
推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
情感目标:
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式，培养学生用辨证思想认识事物.
教学重点和难点
重点：一元二次方程根与系数的关系;难点：如何通过求根公式发现韦达定理，正确理解根与系数的关系.
教学关键:1.激发学生对根与系数关系的求知欲望;2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系
教学过程一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。。。，对于我来说
年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我们现在在学习一元二次方程，我的年
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一元二次方程的根与系数的关系
龄是x227x1800的两根之和，你们猜一猜，不解方程，能不能求出陈老师的年龄。由求根公式可知，一元二次方程的根仅仅由系数a、b、c确定，换句话,就是说根与系数有密切的关系，当然这种根与系数的关系不容易立刻被发现。我们用配方法、因式分解法等措施求出根。除此之外，一元二次方程的两个根与系数到底还有没有其他关系？
二、探索发现活动任务：全班同学在课本中找出已经整理成一般式的一元二次方程，并且最好是已经确定两根的方程。一般来说，学生会优先选取一元二次方程系数a、b、c为整数的并且跟也为整数的方程，教师在此进行引导，要求尽可能的找出各种类型的例子，例子包括系数a、b、c为正数、负数、0；根为正数、负数顿好的。学生若没有提出，老师在表格中补充。小组讨论前后间四人小组合作，老师思路引导：代数学科中数与式的结构编排，让我们想到了两根运算上的最简单的组合：和差积商。刚才所列举的数中，观察这两数的和差积商，思考根与系数还有什么密切关系？
一元二次方程x1
x2
x1x2x1x2x1x2
x1
x2
两根同号
两根异号
有一根为0根为无理数
初步感知：学生很容易发现两个之和与两根之积关系很明显，但是两根之差和两根只商可以看出有关系，不过没有办法具体确定x1、x2分别等于几，因此
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一元二次方程的根与系数的关系
差商不在本节课的谈论范围中。学生的猜想可能是：两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项。当然会有学生质疑，他们提出二次项系数不为1的一元二次方程。教师顺势说明当系数为1的情况是什么，再讨论系数不为1的情况。知识初探：问题（1）关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两
根x1，x2与系数p,q之间有什么关系？怎么表示两根？学生探索得到：关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两根x1，x2与系数p,q的关系是：
x1x2p，x1x2q。反问学生你是怎么发现的？这个关系合理吗？你能试着证明吗？设计目的是训练学生从合情推理到演绎推理。。。学生讲证明思路。（用求根公式直接的两根，或配方法得到均可）
px
p22
4q
，推导出x1
x2，x1x2
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程
二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
知识再探：问题（2）关于x的方程ax2bxc0(a0)的两根x1，x2与系数
a,b,c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
形如ax2bxc0(a0)的方程，如果b24ac0，两根为x1，x2，引导
学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。放手给学生做，最后总结为两种做法：①可以先将方程转化为二次项系数为
1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2bxc0(a0)
∵a0
∴x2bxc0aa
∴x1
x2
ba
，
x1x2
ca
②利用求根公式给出证明。（思路点拨即可）
3/43/4
一元二次方程的根与系数的关系
证明：∵ax2bxc0(a0)，当b24ac0时根为：
xbb24ac2a
设x1b
b22a
4ac
，x2
b
b24ac，则2a
∴x1x2b
b24acb2a
b24ac2bb
2a
2aa
x1x2b
b24acb2a
b24acb2(b24ac)4acc
2a
4a2
4a2a
介绍韦达：
练习：1.下列方程你能得出他们的两根之和与两根之积吗？
x24x30
2x24x10
x22x30
首尾呼应：现在你知道陈老师的年龄是多少了吗？x227x1800，两根之和等于27.
篇九：根与系数的关系教材分析
一元二次方程根与系数的关系说课稿
峨山县小街中学杨东笑
尊敬的各位评委，各位老师，大家好！我叫杨东笑，来自峨山县小街中学。今天我说课的课题是“一元二次方程根与系数的关系”。现代数学教育观认为：教学活动是师生积极参与，交往互动，共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是组织者、引导者与合作者。在此理念的指导下，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学方法、教学过程等几个方面向各位评委介绍我对本节课的教学设计。一、教材分析
“一元二次方程根与系数的关系”是人教版数学九年级上册
问题的能力，渗透特殊到一般的数学思想。3.情感态度与价值观（1）通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的自信心；（2）让学生感受到数学有很多有价值的规律等待我们去探索，激发学生的学习
兴趣和探究欲望。4.问题解决
从探究具体实例入手，由学生观察、动手操作并发现一元二次方程根与系数的关系，让学生主动探索和讨论交流，对定理再严格加以证明，从而达到解决数学问题的目的。教学重点：一元二次方程根与系数的关系及运用。教学难点：一元二次方程根与系数的关系的推导及运用。（为突破此难点，我采用引导启发，合作探究的教学方法。让学生在教师引导下分小组探究，通过观察、动手实践、大胆猜想、推理论证几个步骤得出数学结论。这样既能使他们很好地理解根与系数的关系的由来，又能使他们记忆深刻。）四、教学方法
引导启发式，合作探究式。学生在教师引导下分小组探究，合作交流.（《课程标准》提出，教学活动应将过去的教师教，学生被动接受学习转变为学生在教师的引导下自主探究，合作交流，大胆猜想，动手实践，用已有的数学知识和方法解决数学问题。）五、教具准备
本节内容的多媒体课件。六、教学过程（一）创设情境，引入新课
我曾经的一名学生向我讲了他学习中发生的一个小故事。他说这件小事让他叩开了数学殿堂之门。大家想听听吗？故事是：这名学生在做一道解方程题目时，不小心打翻了墨水瓶，把题目污染成了下列样子：2x2x=0，当时他很
着急，不过他还记得老师说这个方程的两根是1和3。于是，他根据已知的两根2
仔细探究，把污染的系数补了出来。你们知道他是怎样做到的吗？（学习了今天的知识，同学们将会找到问题的答案。）
其实，生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：八年级所学的勾股定理。那么一元二次方程中的根与系数到底存在怎样的规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的味道。
【设计意图】:让学生感受到数学来源于生活，生活中有很多有价值的规律，等待我们去探索和发现，从而激发学生的学习数学的兴趣和探究欲望。
（二）启发探究，获得新知
先填空，再找规律：
一元二次方程
x1
x22x0
0
x23x40
-4
x25x60
2
x2
x1x2
x1x2
2
2
0
1
-3
-4
3
5
6
观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x的方程x2pxq0(p、q为常数,p24q0)的两根x1，x2与系数p,q之间有什么关系？（2）关于x的方程ax2bxc0(a0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
活动：学生先自行计算出方程的两个根，然后在规定时间内分小组进行讨论，并派代表陈述本小组观点。教师对发言学生给予鼓励和赞扬。
根与系数关系：（1）关于x的方程x2pxq0(p、q为常数,p24q0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1x2p，x1x2q。
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
（2）形如ax2bxc0(a0)的方程，如果b24ac0，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2bxc0(a0)
∵a0∴x2bxc0
aa
∴x1
x2
ba
，x1x2
ca
【设计意图】:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的数学思想。
（三）推理证明，加深理解
学生通过小组讨论，得出了一元二次方程根与系数的关系：
bx1x2a
cx1x2a
这个结论是否正确呢？我们能否对这个结论加以证明？（教师引导学生利用求根公式给出证明。）
请一名学生在黑板上书写自己的证明过程，其余学生在练习本上做。
证明：∵ax2bxc0(a0)，当b24ac0时根为：xbb24ac2a
设x1b
b22a
4ac
，x2
b
b24ac，则2a
∴x1x2b
b24acb
2a
b24ac2bb
2a
2aa
bb24acbb24acb2(b24ac)4acc
x1x2
2a
2a
4a2
4a2a
x1
x2
ba
x1
x2
ca
（提
示：在推导
x1
x2
ca
过程中运用到平方差公式，这是证明的难点）
【设计意图】:让学生加深对一元二次方程根与系数的关系这一结论的理解，并通过推理证明定理获得成功的体验，增强学习数学的自信心。
（四）运用新知，体验成功
师生共同完成课本中的例题4.例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）x26x150
（2）5x14x2
解：（1）x1x2(6)6
x1x215
（2）方程化为4x25x10
55
x1x2
4
4
1x1x24
（提示：在运用一元二次方程的根与系数的关系时，一定要找准系数a,b,c。）
【设计意图】:让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，加深学生对根与系数关系的理解。
课堂练习：学生做练习，教师指导，请学生介绍解题思路。
1.（2014·云南昆明）已知x1、x2是一元二次方程x24x10的两个根，则x1x2
等于（）
A．4
B.1
C.1
D.4
2．（2014·广西来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（）
A．x2﹣6x+8=0
B．x2+2x﹣3=0
C．x2﹣x﹣6=0
D．x2+x﹣6=0
3.解决情景创设中的问题。
4.若一元二次方程x2
4x20的两个实数根是x1、x2，则
1x1
1x2
。
【设计意图】:进一步巩固根与系数的关系，体验在解题过程中“整体代入”
的数学方法，可起到简便运算的作用。
（五）归纳小结，巩固新知
1．这节课我们学习了什么知识？有何作用？2．运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？3．这节课我们学到了解决数学问题的哪些方法？运用了哪些数学思想？【设计意图】:对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌
握知识总结规律，对新知识进行再一次记忆，同时向学生渗透数学思想和方法。
（六）布置作业，分层落实
必做题：课本16页练习选做题：（2014•湖北黄冈）若,是一元二次方程x22x60的两根，
则22（）
A.﹣8
B.32C.16
D.40
【设计意图】:既面向全体学生，又兼顾到学生的个体差异。让基础好的学生“吃得饱”，学困生“吃得了”。
七、板书设计
一元二次方程根与系数的关系1.对于ax2bxc0(a0)的方程，
若b24ac0，两根为x1，x2，
那么x1
x2
ba
，x1
x2
ca
（掌握、重点）
2．根与系数关系的运用（理解、难点）（1）在运用根与系数的关系之前，先将
方程化为一般形式。（2）灵活运用代数式恒等变形。
（如：ab2a22abb2）
例题4练习
【设计意图】:能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。
八、教学反思本节课的教学设计是在“以教师为主导，学生为主体”的教学理念下，将过
去的教师教，学生被动接受学习转变为学生在教师的引导下自主探究，合作交流，大胆猜想，动手实践，用已有的数学知识和方法解决数学问题。让学生在和谐、愉快的氛围中快乐地学习，从而激发学生学习数学的积极性和自信心。【设计意图】:有效的反思有利于教师逐步培养和发展自己对教学实践的判断、思考和分析能力，从而为进一步深化自己的实践性知识，直至形成比较系统的教育教学理论提供了有效的途径。
我的说课到此结束，感谢各位评委的聆听。谢谢大家！
篇十：根与系数的关系教材分析
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一、教材分析：《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2节的内容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。因此本节课起着承上启下的作用。二、学情分析：九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。三、教学目标：
(一)知识与技能了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。(二)过程与方法通过问题的引导，发现、证明并归纳一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。(三)情感态度价值观在经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程中，培养观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励他们培养勇于探索的精神。四、教学策略教学方法：讲授法、练习法、课堂合作探究法。教学工具：ppt课件、白板笔。五、重点难点：重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用难点：探索发现一元二次方程根与系数关系
六、教学过程：
教学环节教师活动（一）创1、问：操场的长和宽满足一元二次方程2x2设情境-400x+15000=0的两个根，如果方程的两个
根为x1、x2，你能用x1、x2表示操场的周长和面（3分钟）积并求出来么？
2、用以前的方法解这个方程求出两个根很麻烦，是否还有别的方法---不解方程也能迅速求出操场的周长和面积？----要解决这个问题，就需要跟老师进入本节新课-----一元二次方程根与系数的关系（板书）
学生活动
学生能表示矩形周长=（x1+x2）×2，面积=x1x2，，并用以前的方法解方程，从而得出操场的周长和面积。
设计意图问题情景的创设可以吸引学生的注意力和探索欲望。（但是用以前的方法解该方程费时间）
（二）观察猜想理论验证：（15分钟）
1.观察猜想二次项系数为1时根与系数的关
学生通过解方程，观察它们通过引导让
系：
两根的和、积与前面系数的关系学生在二次
活动一：
，可以发现这三个方程的二次项项系数是1
观察这些方程的两根的和、两根的积与系数系数均为1，此时它们两根的和等的方程中发
有什么关系？你发现了什么规律？
于一次项系数的相反数，两根的现一元二次
方程
两根x1x2
两根和x1+x2
两根积x1x2
积等于常数项。并能猜想：方程x2+px+q=0的两根为x1,x2。则x1+x2=-p，x1x2=q
通过合作，得到验证思路：
方程根与系数的关系，并证明这个结论，体会
x2-3x+2=0x2+5x–6=0
从因式分解可知，方程(x-x1)(xx2)=0(x1,x2为已知数)的两根为x1,x2，
观察→猜想→验证→归纳
x2-5x+4=0让学生分4人为一小组进行合作探究，验证这个猜想。（教师着重引导）
和学生一起归纳结论：二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项.
方程展开化成一般式可得方
程x2-（x1+x2）x+x1x2=0，（活动1中将方程化为x2+px+q=0的学生可能想
形式，就能看出x1，x2与p，q之不出推导过
间的关系.
程，需要教
师巡堂引
导，必要时
白板上板书
学生有了刚才活动一掌握的知识用讲授法推
，重新探究可得到
导）
2.猜想验证一元二次方程根与系数的关系：思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，两个根的和、
方法1：若ax2+bx+c=0两个根为x1,x2二次项系数化为1：
积与系数又有怎样的关系呢？（让学生回忆
一元二次方程求根公式）
活动二：思考，并继续以刚才的4人为
一小组合作写出推导过程：若一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1,x2，方法2：若ax2+bx+c=0
则x1+x2=
x1x2=
.
两个根为x1,x2
(a≠0)
(a≠0)
通过讨论、合作探究让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程
学生合作探究过程中教师巡堂指导，探究完毕各组派代表上台汇报，老师表扬并点评。
根与系数的关系。对学生用方法1
师生共同归纳得到韦达定理：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这种蕴含化未知为已知数学思想的证明给予充
分肯定。
1、（回归情景）操场的长和宽满足一元二次方程2x2-400x+15000=0的两个根，求操场的周长和面积？
学生能利用根与系数的关系。用x1、x2表示矩形周长=（x1+x2）×2=200×2=400，面积=x1x2=7500
，
及时回归引入情景，解法简便，用所学新知解决问题可增添学生的自豪感。
（三）巩固新知理解应用：（20分钟）
2、（例4）根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1、x2的和与积
⑴x2-6x–15=0⑵3x2+7x–9=0⑶5x–1=4x2在学生练习完后总结注意：①不是一般式的要先化成一般式.②在使用x1+x2=－时,“－”不要漏
学生利用根与系数的关系求出方程两根的和与积
让学生通过练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识，及时总结易错点让学生减少错误几率。
3、练习1.已知方程3x2-10x+m=0的一根为7，求m及另一根.
篇十一：根与系数的关系教材分析
P> 《一元二次方程根与系数的关系》教学设计一、教材分析：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但
在中考中体现，延伸到高中的教学中也有广泛的应用。现在又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要，它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路。二、学情分析：
1.学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。三、教法特点及预期效果分析：
1、本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。
3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。学法指导
1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。四、教学目标:1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。五、教学过程:
1
（一）探索新知
问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同
学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一
步研究一元二次方程的这种关系。
问题2.解下列方程并填写下表：
（1）x2-5x+6=0（2）2x2+5x+3=0（2）3x2-2x-8=0
填写下表
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2-5x+6=0
2x2+5x+3=0
3x2-2x-8=0
【设计意图】：二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽
量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题3.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、
b、c之间的关系：____________。问题4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的
问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=。则x1+x2=；x1x2=设是方程的两个根。
∴∴
【设计意图】
学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接
下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式x1+x2和x1x2得出根系关系的结
论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程还可以让学生体会，数学知识的一些结论
是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀。
（二）尝试发展
试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，
x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0
_（2）3x2+5x=0
_（3）-4x2+x-2=0
_（4）5x2+kx-6=0
_
x1+x2=________x1+x2=______x1+x2=_________
x1+x2=_________
x1x2=_______x1x2=_______
x1x2=________x1x2=________
2
【设计意图】
本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握
的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法
尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。
组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。
尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程3x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，
（2）倒数和。
（三）归纳小结本课主要研究了什么？
1、方程的根是由系数决定的。
2、a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、x2
3、a≠0，△≥0时，x1+x2=，x1x2=
。
4、方程根与系数关系的有关应用。
（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。
六、设计说明:
一、重视知识的连贯性，由浅入深，在旧知识上构建新知，激发学习兴趣，活跃学
生的学习活动。
在教学设计中，先复习一元二次方程的一般形式及求根公式，利用问题情境解方
程，一方面巩固前面所说的用公式法求一元二次方程，另一方面通过求出方程的两根，引
导学生探讨一元二次方程的两根和与两根之积和系数的关系。让学生自己动手，得出结论。
这样做，充分发挥了学生的主动性。
二、采用循序渐进的方法达到教学目标。先是解解方程（1）x2-5x+6=0（2）2x2+5x+3=0
（2）3x2-2x-8=0
观察、思考两根和、两根积与系数的关系．
篇十二：根与系数的关系教材分析
P> 一元二次方程根与系数的关系教材分析1、本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，上两节已揭示了方程的根是由方程的系数决定的;本节进一步探究方程两根之和及两根之积与方程系数的关系，它集中反映了一元二次方程两根的基本对称式与系数之间的关系.
2、本节通过学生解一元二次方程填写表格、观察表格中数据,发现规律得出结论，教师在进行合理的推理，得出一元二次方程根与系数的关系，通过知识的产生过程，让学生感悟数学的思维方式，激发学习意识。
3、例题处理上让学生打开视野，体会一元二次方程根与系数的题型；例1是根与系数的直接应用,考查学生对一元二次方程根与系数的熟练程度，同时提出该问题的其它解法，学生通过对比感受根与系数关系的实用性；例2是一元二次方程根与系数的常见题型，是关于一元二次方程两根的对称式的求值问题，这类问题通常是不解方程,把关于x1、x2的对称式通过恒等变形，转化为只含有对称式x1+x2和x1x2后，再利用根与系数的关系得以解决。
篇十三：根与系数的关系教材分析
P> 《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析:
本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．
教学目标：
【知识与能力目标】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察→发现→猜想→验证的思维转
化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】
通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.
教学重难点：
【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.
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课前准备：
多媒体
教学过程：
问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？
（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？
（4）一元二次方程的求根公式是什么？［师生活动］教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．［答］（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）；
（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；
（3）当△>0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△<0时，一元二次方程没有实根；
2
bb4ac（4）方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为xbb4ac（△≥0）.
2a
【设计意图】通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。
问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。问题3：（1）填写上表后思考：
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①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？
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已知方程x2-4x-7=0的根为x1，x2，则x1+x2=
，x1·x2=
；
已知方程x2+3x-5=0的两根为x1，x2，则x1+x2=
，x1·x2=
.
已知方程2x2－3x－2＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2=
，x1·x2=
3
［答案］4，-7；-3，-5；，-1.
2
②如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关
系吗？
［回答］若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠的0）两个x根1和分别x2为，则x1＋x2＝
③如何证明以上发现的规律呢？
［论证结论］教师与学生共同整理证明过程：
证明：当Δ>0时，由求根公式得
－b＋b2－4ac
x1＝
2a
，x2＝
－b－b2－4ac
2a，
所以x1＋x2＝
－b＋b2－4ac－b－b2－4ac
2a＋2a
2bb＝－，2a＝－a，
－b＋b2－4ac－b－b2－4ac（－b）2－（b2－4ac）cx1x2＝
2a
·2a＝
44aa22
＝a；
当Δ＝0时，x1＝x2＝－2ba.
c＝x1x2.a
所以x1＋x2＝－ab，x1x2＝ca.
［归纳并板书］根与系数关系：若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠的0）两个根x分1和别为x2，则x1＋x2＝－ab，xc1ax.2a＝a
［文字表达］一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
设计意图】①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基
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础．②通过设置问题2使学生明确利用元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥
0.③探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度。
问题4：例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x1，x2的和与积．
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.
［师生活动］学生自主进行解答，教师做好评价和总结．
［注意］把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，比较b2－4ac与0的大小，
然后利用根与系数的关系代入求值．
［解］(1)x1+x2=6，x1·x2=-15；
792)x1+x2=-，x1·x2=-；
33
3）方程化为4x2-5x+1=0，
51
∴x1+x2=，x1·x2=.
44
变式练习1已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于（C）
A．－4
B．－1
C．1
D．4
变式练习2
若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两个实数根，求x1＋x2－x1x2的值．
［解］由根与系数关系得，x1+x2=2，x1·x2=-1，∴x1＋x2－x1x2=2-（-1）=3.【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。
问题5：例2已知方程x2-x+c=0的一根为3，求方程的另一根及c的值.［分析］设方程的另一根为x1，可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c，也
可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值.
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［解］设方程另一根为x1，由x1+3=1，∴x1=-2.·又x13=-2×3=c，∴c=-6.
篇十四：根与系数的关系教材分析
P> 一元二次方程根与系数的关系教学设计作者：
工作单位：任教学科：数学
教学目标：
（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用
关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解
一些简单的问题。
（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，
培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的
过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简
思想。
（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增
强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用
教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：
一、温故知新
1.用公式法解一元二次方程的一般步骤
、
、
2.用公式法解下列方程。
（1）x2+3x+2=0
(2)x2-5x+6=0
(3)3x2+x-2=0
(4)2x2-4x+1=0
设计意图：巩固求根公式，为根与系数关系的探索做铺垫。
二、合作探究
1.根据2中所求的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积并把
结果填入下表
一元二次方程x1x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+2=0
x2-5x+6=0
3x2+x-2=0
2x2-4x+1=0
2.观察上表，你发现在上面的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相互的方程的系数之间有何关系？3.由此猜想：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2与方程的系数a、b、c之间有什么关系？设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。三、归纳总结并证明若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则
x1+x2=-
ba
x1.
x2
=
ca
证明此处略（师生合作完成）
设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，
让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
四、随堂练习
不解方程，说出下列方程的两个根的和与积
(1)X2-2X-4=0
(2)2X2+3X=0
利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个
根
(1)X2-6X-7=0(-1,7)
（
）
5
1
(2)3X2+5X-2=0(3,3
)
（
）
(3）2X2-3X+1=0(3,1)
（
）
（4）X2-4X+1=0(-2+3
，-2-3
）（
）
设计意图：初步考查学生对根与系数关系的掌握情况，为巩固提升做
准备。
五、例题剖析
例1：已知方程3x2+mx-4=0的一个根是2，求它的另一个根及m的值。
设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，
加深学生对根与系数关系的本质理解。
例2：设x1、x2是方程2x2+5x+1=0的两个根，求下列各式的值。（1）（x1+1)(x2+1)
（2）1/x1+1/x2
设计意图：：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。六、达标与测试（略）让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。七、小结
让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。八、课堂板书（略）九、教后反思（略）
学情分析一元二次方程根与系数的关系
1.学生已学习了用求根公式解一元二次方程。2.本节课的教学内容针对的是初中三年级学生，学生对事物的认知多是直观形象的，他们所关注的多是事物外部的直接的、具体形象的特征。3.由于本校学生数学素养较差，基础性薄弱，在教学初始，展示学生所熟悉的，感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式在现代化的教学模式和传统教学模式结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
效果分析一元二次方程根与系数的关系
通过本节课的教学，（一）基本上丰富了学生的数学活动经验，发展了推理能力，进一步培养学生的符号意识与创新意识。（二）让学生经历合情推理与演绎推理活动，由特殊到一般地探索出一元二次方程根与系数的关系。（三）大多数同学会用韦达定理解决一些简单的应用题。（四）对于一些综合性的问题，还有待于进一步加强训练。
教材分析一元二次方程根与系数的关系
1.本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，上两节课已揭示了方程的根是由方程的系数决定的；本节课进一步探究方程两根之和及两根之积与方程系数的关系，它集中反映了一元二次方程两根的基本对称式与系数之间的关系。2.本节通过学生解一元二次方程填写表格，观察表格中数据，发现规律得出结论，通过知识产生地过程，让学生感悟数学
的思维方式，激发学习意识。3.例1是根与系数的直接应用，考查学生对一元二次方程根与系数的熟练程度。例2是一元二次方程根与系数的常见题型，这类问题常是不解方程，转化为只会有x1+x2和x1x2后，再利用根与系数的关系得以解决。
评测练习
一元二次方程根与系数的关系
1.若一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为2-3,则另一个根
是
，c的值
。
2.设m、n是一元二次方程X2+2X-7=0的两个根，则
m2+3m+n=
。
3.已知实数a、b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，求ba的值。
ab
（分两种情况）
教学反思
一元二次方程根与系数的关系
1.以一元二次方程根与系数的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力。
2.借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大知识结构发展
能力，设计体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体，以培养学生思维能力为重点的教学思想，教师以探究规律为任务，引导学生发现、归纳与证明。为学生提供了自主合作、探究的舞台。
3.不足之处，由于学生基础性一般，在师生互动上有显生硬。因而，课堂气氛略显生涩。应加强基本功，特别是应变能力要提高。课堂上思想要高度集中，对学生出现的与自己预设不同的情况要认真思考，正确判断，正确回应。
课标分析
一元二次方程根与系数的关系
篇十五：根与系数的关系教材分析
P> 《一元二次方程根与系数的关系》教学设计一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系。
二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根
求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。
三、学习过程：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的
方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0（2）x2＋3x－4＝0
（3）x2－5x＋6＝0.
探索一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知
bb24acbb24ac
x1=
2a
,x2=
2a
能得出以下结果：
x1＋x2=
即：两根之和等于
x1•x2=
即：两根之积等于
太妙了！我想知道为什么？
乘以
x1x2=b
b24acb
+
2a
b24ac2a
bb24acbb24ac
=
2a
=
bx1.x2=
b24ac×b2a
b24ac2a
(bb24ac)(bb24ac)
=
4a2
()2()2
=
4a2
=
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为
x1+x2=
b，
c
x1x2=
a
a
如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为
x2＋x＋c＝0(a≠0)，a
则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
x2-（）x＋x1x2＝0(a≠0)
例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
解：设方程的另一个根是
x1，那么
2x1
65
∴x1=
又x1+2=k（为什么？）5
∴k=
（为什么？）
想一想，还有没有别的做法？
例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的（1）平方和（2）倒数和
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2=
（1）∵（x1+x2）2=x12+2
+x22
∴x12+x22=（x1+x2）2-2
=
，x1x2=
（2）11
x1x2
x1x2
例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是31，2132
解：所求的方程是x2-（3121）x＋（32
）21＝0(为什么？)2
即x2+
x-
＝0或6x2+
x-＝0
例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x＋9＝0的两个根
解这个方程，得x1=
，x2=
因此，这两个数是
，
四、分层练习(A组)
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
（1）y2-3y+1=0
（2）3x2-2x=2
（3）2x2+3x=0
（4）3x2+5x-2=0（5）2y2-5=6y
（6）4p(p-1)-3=0
2、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值
3、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
（1）（x1+1）（x2+1）
（2）x2x1x1x2
4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-75、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。
B组：如果方程2x2＋kx-5＝0的实数根互为相反数，那么k=
C组：已知，是方程x2＋２x-5＝0的实数根，求22的值
新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
效果分析测试题（课后巩固自测题）
1.以3和—2为根的一元二次方程是（）A.x2x60B.x2x60C.x2x60D.x2x60
2.如果关于x的方程2x2－5x＋m＝0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（）
A.1
B.－1
C.2
2
2
3.不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积.
⑴
⑵
D.－2⑶
结果统计：第一题正确率98%，第二题88%，第三题71%，由此可以看出学生对这一问题基本掌握，但对于信息的变式运用和计算还非常欠缺。
课后反思1.增强实用性。一节课学生掌握的好坏要看学生练习时间的多少和
练习的质量，要进一步扩大学生练习的时间，提高练习质量。2.微视频的制作效果。微视频的效果要更吸引人，才能更好的激发
学习兴趣。3.增加课堂容量。精化细节，丰富环节，增加课堂容量，打造高效
课堂。4.落实检查。采用教师检查，组长检查等多种形式，检查发现问题，
督促学生学习。教材分析
本节是鲁教新版八年级下册第八章第五节，是在学习了一元二次方程的定义、求解方法的基础上对一元二次方程系数作用的进一步探索，本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
练习自测1：一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的
路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是(
)
A.摩托车比汽车晚到1h
B.A,B两地的路程为20km
C.摩托车的速度为45km/h
D.汽车的速度为60km/h
练习自测2：小华的爷爷每天坚持体育锻炼．某天他慢步到离家较远的绿岛公
园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离与
时间的函数关系的大致图象是（
）
练习自测3：某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程xkm计
篇十六：根与系数的关系教材分析
P> 一元二次方程根与系数的关系教材分析1、本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，上两节已揭示了方程的根是由方程的系数决定的；本节进一步探究方程两根之和及两根之积与方程系数的关系，它集中反映了一元二次方程两根的基本对称式与系数之间的关系。
2、本节通过学生解一元二次方程填写表格、观察表格中数据，发现规律得出结论，教师在进行合理的推理，得出一元二次方程根与系数的关系，通过知识的产生过程，让学生感悟数学的思维方式，激发学习意识。
3、例题处理上让学生打开视野，体会一元二次方程根与系数的题型；例1是根与系数的直接应用，考查学生对一元二次方程根与系数的熟练程度，同时提出该问题的其它解法，学生通过对比感受根与系数关系的实用性；例2是一元二次方程根与系数的常见题型，是关于一元二次方程两根的对称式的求值问题，这类问题通常是不解方程，把关于x1、x2的对称式通过恒等变形，转化为只含有对称式x1+x2和x1x2后，再利用根与系数的关系得以解决。
篇十七：根与系数的关系教材分析
P> 教学文档人教版九年级上册公开课一元二次方程根与系数的关系教学设计和反思教材分析一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为根底的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。学情分析1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的根底上掌握一元二次方程根与系数的关系。教学目标1、知识目标：要求学生在理解的根底上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜测、证明等数学活动过程，开展推理能力，能有条理地、清楚地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、感情目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探究与制造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
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教学文档
2、难点：让学生从具体方程的根发觉一元二次方程根与系数之间的关系，并用言语表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比拟抽象，学生真正掌握有肯定的难度，是教学的难点。
于2022-10-2309:59编辑教学过程教学反思1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的根底上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下根底。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探究与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探究的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成局部。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探究和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
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篇十八：根与系数的关系教材分析
P> 《一元二次方程根与系数的关系》的说课稿《一元二次方程根与系数的关系》的说课稿[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。[学生分析]进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。
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能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根;已知一根求另一根及系数。
理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。
[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的`关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢?由此疑问，导入新课。(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。我在这些方程中安排了两个无理根方程。当学生们发现这两个无理根在求和，求积后，竟变成了有理数，而且每一组两根和(积)都与系数有着密切的联系，此时的他们不难对两根和与两根积产生关注，经历了对二次项系数为1的一元二次方程两根和差积商的研究后，确定了课题并获得猜想：“两根和等于一次项系数的相反数,两根积等于常数项。”对于这一
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猜想，会有学生提出不同看法，他们提出研究二次项系数非1的一元二次方程。学生的质疑启动再探新知。直接研究一元二次方程两根和、两根积与系数的关系。这一环节中我不再给出具体的方程要求研究，故除了部分同学自定义方程求根求和求积后产生猜想，还有部分同学对仍保留在板书部分的求根公式着手进行两根和，积的运算。这两种方案齐头并进，当前者通过不断验证来说明他们猜想的可靠度时，后者通过论证，在严格意义下，说明了此结论的正确性。对于论证中学生出现的问题，我们在第一时间内揪错指正，
在知识初探与再探后，学生获得了新知，得到了一元二次方程根与系数的关系，
三、训练感悟我将之前从学生那里收集来的错解对照表中方程，询问检验其正误的方法。学生根据已有经验，将其代入方程，进行检验。为寻求更为简便的方法，引出作用一，利用根与系数的关系，不解方程检验两数是否为原方程的根。我再给出两例，便于巩固练习，更明确了只有当两数和(积)同时满足方程两根和(积)的时侯，才是正确的根。当学生们正为找到了一种行之有效的检验方法，高兴不已的时候。突然间，表格中的数据丢失了，我分别隐去了方程的一根及b,c,a三个系数。为了将材料修复，学生小组展开热烈的讨论。有了上一题的经验，学生们会利用根与系数关系，不解方程，求出另一根及系数。也会使用代入求解的方法解题，通过新旧方法的比较，在训练中获得感悟：方法的选择在于简便，学生们在选择了恰当的方法后，修复了材料也巩
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固了新知。四、总结提升，由学生回顾知识的发生发展及应用过程，以“我的收获”与“我
的疑惑”交流心得。我再帮助学生整理所学知识，引导领会数学的思想。我还会自豪的告诉他们，数学家们还发现了存在于一元n次方程中的根与系数的普遍关系，这一内容将在高数中有所涉及，激励奋进
五、分层作业，[设计意图]现在的设计较之以往，有所继承，有所变革。1研究启动入口不同过去我总是先给出若干具体方程要求学生求根，并计算两根和(积)，作出猜想。这样的数学后曾有学生问我：“老师为什么会想到两根和(积)与系数的关系，而不是其它?”这种疑问的产生一定与过去设计指定了学生的活动过程有关，为了给学生的活动指向更为宽泛，让两根和积与系数的研究更显合理，现在的设计中主要体现了由数到式的研究，从两根和差积商的重组合再有所观察，有所挑选，方才定位于两根和(积)作进一步的探究。这种设计正是从数学内部下了功夫，由知识线索的连贯性，师生共同理顺了实验对象的来龙去脉，从数学本身上培养了学生的观察、分析、概括的综合能力。2探究部分两步走我将二次项系数为1，非1的一元二次方程分两次出现，分别放置与知识初探和再探两个环节，这样设计的原因有二：学生的认知能
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力总是有所差异的，如果将这些方程合二为一加以研究的话，一部分同学对别人获得的正确猜想是瞬间接受，却缺乏思维的参与。事实上，研究事物往往从简单到复杂，在这里，当a=1时，易找规律，当a≠1后造成的认知冲突，更是激发了这一猜想的完善。其实这一串，由实验——猜想——再实验——再猜想的思维过程，既符合认知规律，也是一种研究性学习的示范，一种创造性能力的培养。为了让每一个学生都亲身参与其中，真正感受由“实践——认识——再实践——再认识”这一客观世界认知论的基本规律。便是我如此设计的原因之一。原因二：研究入口处，利用两根和差积商的结果，优选出对和积的研究。初探中二次项系数为1的方程两根计算足以起到这一筛选作用。因此在下一环节的再探新知中，便自然关闭了对两根差与商相对较为繁琐的计算，直接由两根和积入手研究与系数的关系，提高了研究的效率。
3再探新知放手走我没有再给出任何具体的方程以供研究，这里的放手，引出了学生不同的操作方法。一部分学生把注意力转放在求根公式上展开直接论证，就连另一部分学生自定义方程数据研究的方式也各不相同，他们有的翻开笔记本查阅之前解方程的资料;有的反凑特殊值方程;更有的会从中提炼出代数论证的方法;当然也有借助于计算器完成了繁琐的计算。放手的探究，为了给学生更大的思维空间，让学生有更多方法的选择，从而展开自主的学习。
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[尾声]但原学生们带着对数学的兴趣与喜爱，在学的海洋里，奋勇搏击。而作为一名青年教师的我，亦将在教学的舞台上，不断求索。多由学生所想来引导;多设角度空间去探究;多从细节处渗透数学思想，充分利用数学课堂来达成文化传承与发展创新的协调统一。
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篇十九：根与系数的关系教材分析
P> 一元二次方程的根与系数关系教学设计一、教学内容：一元二次方程的根与系数关系二、教材分析：
本节课在教材中是初中数学九年级第一学期一元二次方程中的重要内容之一，是在研究一元二次方程的求根公式之后对于一元二次方程根与系数关系的进一步的拓展与研究，也是今后研究一元二次方程的根与系数问题的重要依据。
三、学情分析：
本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识是直观和形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，在教学初始，出示一些学生所熟悉的内容，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
四、教学目标：
（一）知识与技能1、熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.（二）过程与方法灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.（三）情感态度价值观让学生经历探索一元二次方程根与系数关系的过程，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明
五、教学重难点：
教学重点：一元二次方程的根与系数关系教学难点：对根与系数关系的理解和推导
六、教学方法和手段：
讲授法、观察归纳法
七、学法指导：
讲授指导
八、教学过程
一、复习引入
1、复习一元二次方程的求根公式。
2、如何用一元二次方程的判别式来判断方程根的情况？
二、探究新知
1.跟踪练习
求下列方程的两根x1、x2.的和与积.x2+3x+4=0；x2-5x+6=0;x2+3/2x+1/2=0
2.课本思考
分析：将（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常
数项等于两根之积.
3.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求
出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成
立，若不成立，新的结论是什么？
?4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的a不一定是1，它的
两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，
得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等
于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项
与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系
数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一
般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
求下列方程的两根x1、x2.的和与积.x2-2x-15=0；x2-6x+4=0;2x2+3x-5=0；3x2-7x=0；2x2=5
6.拓展练习
①已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则
b=
,c=.
②已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是
,k
的值是.
③若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p=;若两个根互为倒数，则q=.分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和
这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.④两个根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+21x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x-8=0⑤.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（）A.4x2-3=0B.-3x2+5x-4=0C.0.5x2-4x-3=0D.2x2+35x-6=0⑥.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m时方程有两个正根；当m时方程有两个负根；当m时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：
x1，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各
式的值：①
1x1
1x2
；
②x2x12
x1x22
③x12x22；
④
x1x2
2；⑤x2
x1
x1x2
九、课堂小结
本节课应掌握：1.韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2.运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，?=0；3.韦达定理的应用常见题型：①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；④判断两个根的符号；○5不解方程求含有方程的两根的式子的值.
十、作业设计
十一、板书设计
21.2.4一元二次方程的根与系数关系
1.韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2.运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，?=0；
十二、教学反思
本节课，通过适当做练习题，激发隆学生的积极性，使整节课变得生动、活泼；还可从多方面培养学生的观察、类比、归纳等学习方法；同时也使学生通过这些练习熟练掌握了一元二次方程根与系数的关系，又培养了学生的动手能力。
存在的不足：首先学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练；其次，在教学中只重视知识的结论，教学的结果，而忽视了知识的来龙去脉，忽略了学生是怎样学。
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