下面是小编为大家整理的指数函数知识点总结,供大家参考。
指数函数
（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果 a x n ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n ∈ N* ． 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 0 0 n。
当 n 是奇数时， a an n ，当 n 是偶数时， ) 0 () 0 (| |aaaaa an n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：
) 1 , , , 0 (* n N n m a a an mnm) 1 , , , 0 (1 1* n N n m aaaan mnmnm 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）ra·s r ra a
) , , 0 ( R s r a ； （2）rs s ra a ) (
) , , 0 ( R s r a ；
（3）s r ra a ab ) ( ) , , 0 ( R s r a ． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 ) 1 , 0 ( a a a yx且 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 654321-1-4 -2 2 4 601 654321-1-4 -2 2 4 601 定义域 R 定义域 R 值域 y＞0 值域 y＞0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非 奇 非 偶函数 函数图象都过定点（0，1）
函 数 图 象都 过 定 点（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上， ) 1 a 0 a ( a ) x ( fx 且 值域是 )] b ( f ), a ( f [ 或)] a ( f ), b ( f [
（2）若 0 x ，则 1 ) x ( f ； ) x ( f 取遍所有正数当且仅当 R x ； （3）对于指数函数 ) 1 a 0 a ( a ) x ( fx 且 ，总有 a ) 1 ( f ； 指数函数·例题解析
【例 1 1】求下列函数的定义域与值域：
(1)y 3 (2)y (3)y12 x＝ ＝ ＝ 2 1 3 32 1 x x
解
(1)定义域为 x∈R R 且 x≠2．值域 y＞0 且 y≠1． (2)由 2 x+2 －1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为 y≥0． (3)由 3－3 x-1 ≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3， ∴值域是 ≤ ＜ ． 0 y 3
练习：（1）412xy ；
（2）| |2( )3xy ；
（3）
1 2 41 x xy ；
【例 2 2 】指数函数 y＝a x ，y＝b x ，y＝c x ，y＝d x 的图像如图 2．6－2 所示，则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 [
] A．a＜b＜1＜c＜d
B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c
D．c＜d＜1＜a＜b 解
选(c)，在 x 轴上任取一点(x，0)， 则得 b＜a＜1＜d＜c． 练习：指数函数①
②
满足不等式
,则它们的图象是 (
).
【例 3 3 】比较大小：
(1) 2(2)0.6、 、 、 、 的大小关系是：
． 2 4 8 16323 5 8 94512 ( ) (3)4.5 4.1 ________3.7 3.6
解 解 (1)y 2 2 1 ( )x∵ ， ， ， ， ，函数 ＝ ， ＞ ，该函数在 －∞，＋∞ 上是增函数，又 ＜ ＜ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ＜ ＜ ．2 2 2 2 4 2 8 2 16 213382549122 8 4 16 2123135258389493 8 5 9 解 解 (2) 0.6 1 10.6∵ ＞ ， ＞ ，∴ ＞ ． 451245123232( )( ) 解
(3)借助数 4.5 3.6 打桥，利用指数函数的单调性，4.5 4.1 ＞4.5 3.6 ，作函数 y 1 ＝4.5 x ，y 2 ＝3.7 x 的图像如图 2．6－3，取 x＝3.6，得 4.5 3.6 ＞3.7 3.6
∴ 4.5 4.1 ＞3.7 3.6 ．
说明
如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2 中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.5 4.1 同底与 3.7 3.6 同指数的特点，即为 4.5 3.6 (或3.7 4.1 )，如例 2 中的(3)． 练习：
（1）1. .72. .5
与
1. .7 3
( 2 )0.10.8 与0.20.8
( 3 )
1. .70. .3
与
0. .9 3. .1
（４）5 . 31 . 2和7 . 20 . 2 【例4】解比较大小 与 ＞ 且 ≠ ， ＞ ．当 ＜ ＜ ，∵ ＞ ， ＞ ，a aaaan nn n n nn nn nn n 1 1111111(a 0 a 1 n 1)0 a 1 n 1 0( )( )
∴ ＜ ，∴ ＜当 ＞ 时，∵ ＞ ， ＞ ，∴ ＞ ， ＞a a an na a an n n n n nn n n n n n11 1 111 1 111( )( )( ) 1a 1 n 1 01
【例 5 5 】作出下列函数的图像：
(1)y (2)y 2 2x＝ ＝ － ， ( )121 x (3)y＝2 |x-1|
(4)y＝|1－3 x |
解 解
(1)y ( 2 6 4) (0 ) ( 1 1)y 1＝ 的图像 如图 ． － ，过点 ， 及 － ， ．是把函数 ＝ 的图像向左平移 个单位得到的．( )( )1212121 xx 解
(2)y＝2 x －2 的图像(如图 2．6－5)是把函数 y＝2 x 的图像向下平移 2 个单位得到的．
解
(3)利用翻折变换，先作 y＝2 |x| 的图像，再把 y＝2 |x| 的图像向右平移 1个单位，就得 y＝2 |x-1| 的图像(如图 2．6－6)． 解
(4)作函数 y＝3 x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y＝－3 x 的图像，再把 y
＝－3 x 的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到．(如图 2．6－7)
【例8】已知 ＝ ＞ f(x) (a 1)aaxx11 (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)求 f(x)的值域；(3)证明 f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
解
(1)定义域是 R R． f( x) f(x) － ＝ ＝－ ，aaaaxxxx 1111 ∴函数 f(x)为奇函数． (2) y y 1 a 1 y 1x函数 ＝ ，∵ ≠ ，∴有 ＝ ＞ － ＜ ＜ ，aayyyyxx 1111110
即 f(x)的值域为(－1，1)． (3)设任意取两个值 x 1 、x 2 ∈(－∞，＋∞)且 x 1 ＜x 2 ．f(x 1 )－f(x 2 ) ＝ ＝ ，∵ ＞ ， ＜ ， ＜ ， ＋＋ ＞ ，∴ ＜ ，故 在 上为增函数．aaaaa aa aa a aax lx lxxx l xx l xx x xx 11212122121221 1( )( )( )a 1 x x ( 1)( 1) 0 f(x ) f(x ) f(x) R1 21 2
单元测试题
：
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1、化简1 1 1 1 132 16 8 4 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ，结果是（
）
A、113211 22
B、11321 2
C、1321 2
D、13211 22 2、4 43 6 6 3 9 9a a 等于（
）
A、16a
B、 8a
C、 4a
D、 2a
3、若 1, 0 a b ,且 2 2b ba a ,则b ba a 的值等于（
）
A、 6
B、 2
C、 2
D、2 4、函数 2( ) 1xf x a 在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是（
）
A、 1 a
B、 2 a
C、 2 a
D、 1 2 a
5、下列函数式中，满足1( 1) ( )2f x f x 的是(
) A、 1( 1)2x
B、14x
C、 2 x
D、 2 x 6、下列2( ) (1 )x xf x a a 是（
）
A、奇函数
B、偶函数
C、非奇非偶函数
D、既奇且偶函数 7、已知 , 0 a b ab ，下列不等式（1）2 2a b ；(2) 2 2a b ；(3)b a1 1 ；(4)1 13 3a b ；(5)1 13 3a b 中恒成立的有（
）
A、1 个
B、2 个
C、3 个
D、4 个 8、函数2 12 1xxy是（
）
A、奇函数
B、偶函数
C、既奇又偶函数
D、非奇非偶函数 9、函数12 1xy 的值域是（
）
A、 ,1
B、 ,0 0,
C、 1,
D、 ( , 1) 0,
10、已知 0 1, 1 a b ,则函数xy a b 的图像必定不经过（
）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限 11、2( ) 1 ( )( 0)2 1xF x f x x 是偶函数，且 ( ) f x 不恒等于零，则 ( ) f x (
) A、是奇函数
B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数
D、不是奇函数，也不是偶函数 12、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 % b ，则 n 年后这批设备的价值为（
）
A、 (1 %) na b
B、 (1 %) a nb
C、 [1 ( %) ]na b
D、 (1 %) n a b
：
二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案填写在答题纸上）
13、若 10 3,10 4x y ，则 10 x y
。
14、函数22 8 11( 3 1)3x xy x ≤ ≤ ≤ 的值域是
。
15、函数22 33xy 的单调递减区间是
。
16、若2 1(5 ) 2xf x ，则 (125) f
。
：
三、解答题：（本题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、设 0 1 a ，解关于 x 的不等式2 22 3 2 2 2 3 x x x xa a 。
18、已知 3,2 x ，求1 1( ) 14 2x xf x 的最小值与最大值。
19、设 a R ，2 2( ) ( )2 1xxa af x x R ，试确定 a 的值，使 ( ) f x 为奇函数。
20、已知函数22 513x xy ，求其单调区间及值域。
21、若函数 4 3 2 3x xy 的值域为 1,7 ，试确定 x 的取值范围。
22、已知函数1( ) ( 1)1xxaf x aa (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明( ) f x 是 R 上的增函数。
指数与指数函数同步练习参考答案
一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、13、43
14、991,33 ，令2 22 8 1 2( 2) 9 U x x x ，∵ 3 1, 9 9 x U ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ,又∵13Uy 为减函数，∴99133y ≤ ≤ 。
15、 0, ，令23 , 2 3Uy U x ， ∵ 3 U y 为增函数，∴22 33xy 的单调递减区间为 0, 。
16、 0，3 2 2 1(125) (5 ) (5 ) 2 2 0 f f f
三、17、∵ 0 1 a ,∴ xy a 在 , 上为减函数，∵ 2 22 3 2 2 2 3 x x x xa a , ∴2 22 3 2 2 2 3 1 x x x x x
18、221 1 1 3( ) 1 4 2 1 2 2 1 24 2 2 4x x x x xx xf x ,
∵ 3,2 x , ∴12 84x ≤ ≤ . 则当122x ,即 1 x 时, ( ) f x 有最小值43；当 2 8x ,即 3 x 时， ( ) f x 有最大值 57。
19、要使 ( ) f x 为奇函数，∵ x R ,∴需 ( ) ( ) 0 f x f x ,
∴12 2 2( ) , ( )2 1 2 1 2 1xx x xf x a f x a a , 由12 202 1 2 1xx xa a , 得2(2 1)2 02 1xxa , 1 a 。
20、令13Uy ,22 5 U x x ，则 y 是关于 U 的减函数，而 U 是 , 1 上的减函数， 1, 上的增函数，∴22 513x xy 在 , 1 上是增函数，而在 1, 上是减函数，又∵2 22 5 ( 1) 4 4 U x x x ≥ , ∴22 513x xy 的值域为410,3 。
21、24 3 2 3 2 3 2 3x x x xy ，依题意有 22(2 ) 3 2 3 7(2 ) 3 2 3 1x xx x ≤≥即1 2 42 2 2 1xx x 或≤ ≤≥ ≤，∴ 2 2 4 0 2 1,x x 或 ≤ ≤ ≤
由函数 2 x y 的单调性可得 ( ,0] [1,2] x 。
22、（1）∵定义域为 x R ,且1 1( ) ( ), ( )1 1x xx xa af x f x f xa a 是奇函数； （2）1 2 2 2( ) 1 , 1 1, 0 2,1 1 1xxx x xaf x aa a a ∵ 即 ( ) f x 的值域为 1,1 ； （3）设1 2, x x R ,且1 2x x ，
1 2 1 21 2 1 21 21 1 2 2( ) ( ) 01 1 ( 1)( 1)x x x xx x x xa a a af x f xa a a a (∵分母大于零，且1 2x xa a )
∴ ( ) f x 是 R 上的增函数。
资料
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