考研微分方程学习知识归纳

时间：2022-09-20 17:35:04 来源：文池范文网

下面是小编为大家整理的考研微分方程学习知识归纳,供大家参考。

考研微分方程学习知识归纳

　微分方程部分重点内容 1、变量可分离的微分方程

　（1）形式 ( ) ( )dyf x g ydx 或1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 M x M y dx N x N y dy  

　（2）通解 ( )( )dyf x dx Cg y  或1 21 2( ) ( )( ) ( )M x N ydx dy CN x M y   2、齐次方程（1）形式 ( )dy ydx x  或 ( )dx xdy y 

　（2）通解 ( )du dxCu u x   （令yux ，则 y xu  ，dy duu xdx dx  ）或

　( )du dxCu u x   （令xuy ，则 x yu  ，dx duu ydy dy  ）

　3、一阶线性微分方程（1）形式 ) ( ) ( x q y x p y   

　（2）通解( ) ( )( ( ) )p x dx p x dxy e q x e dx C   4、可降阶的高阶微分方程

　（1）( )( )ny f x  ，其中 ( ) f x 为已知函数

　积分 n 次可得其通解（2）

　( , ) y f x y    （不显含 y ）

　令 y p，则 y p    。于是，原方程可化为 ( , ) p f x p（一阶）① 设①的通解为1( , ) p x C   ，即

　1( , ) y x C  （一阶）② 由②可得通解

　1 2( , ) y x C dx C    （3）

　( , ) y f y y    （不显含 x ）

　令 y p，则dp dp dy dpy p pdx dy dx dy      。于是，原方程可化为 ( , )dpp f y pdy （一阶）① 设①的通解为1( , ) p y C   ，即

　1( , ) y y C  （一阶）② 由②可得通解

　21( , )dyx Cy C   5、二阶线性微分方程（1）形式

　非齐次 ) ( ) ( ) ( x f y x q y x p y     

　（1）

　齐次

　 0 ) ( ) (      y x q y x p y

　（2）

　（2）解的结构

　定理 1 若 ) ( ) (2 1x 、y x y 为（2）的两个解，则 ) ( ) (2 2 1 1x y C x y C  为（2）的解。

　定理 2 若 ) ( ) (2 1x 、y x y 为（2）的两个线性无关的解，则 ) ( ) (2 2 1 1x y C x y C  为（2）的通解。

　 ) ( ) (2 1x 、y x y 线性无关) ((21x yx y常数。

　定理 3 若 ) ( ) (2 1x 、y x y 为（1）的两个解，则 ) ( ) (2 1x y x y  为（2）的解。

　定理 4 若 ) (0x y 为（2）的解， ) (x y 为（1）的解，则 ) (0x y ) (x y  为（1）的解。

　定理 5 若 ) ( ) (2 2 1 1x y C x y C  为（2）的通解， ) (x y  为（1）的一个特解解，则（1）通解为    ) ( ) (2 2 1 1x y C x y C y ) (x y 

　6、二阶常系数线性微分方程

　二阶常系数齐次线性微分方程 0      y q y p y （ q p, 为常数）

　的通解：特征方程20 p q      的判别式 q p 42  

　1 21 2x xy C e C e   （ 0   ，有两相异实根1 2,   ）

　01 2( )xy C C x e    （ 0   ，有两相等实根1 2 0     ）

　1 2( cos sin )xy C x C x e      （ 0   ，有一对共轭复根1, 2i      ）

　二阶常系数非齐次线性微分方程 ) (x f y q y p y      （ q p, 为常数， ) (x f 为已知函数，称为自由项）

　特解的表示：

　（1）若 ( ) ( )xnf x P x e   （其中 ( )nP x 为 n 次多项式），则可设特解 ( )k xny x Q x e 

　其中 ( )nQ x 为（系数待定的）

　n 次多项式，0,1,2,k 不是特征根是单特征根是重特征根注意当 ( ) ( )nf x P x  即 0   时，也要考虑其是否为特征根！

　（2）若 ( ) cosxf x ae x  或 ( ) sinxf x be x  ，则可设特解 ( cos sin )k xy x e A x B x  

　其中 , A B 为（待定）常数，0,1,iki    不是特征根是特征根

　（3）若1 2( ) ( ) ( ) f x f x f x   ，且1y  为 1 ( )y py q y f x     

　的特解，2y  为 2 ( )y py q y f x     

　的特解，则1y y  2y  为 1 2( ) ( ) y py q y f x f x      

　的特解（特解的可叠加性）。

　7、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程

　（1）三阶 0 y py qy ry       

　特征方程3 20 p q r       

　 ①三个相异实根1 2 3, ,    时的通解

　3 1 21 2 3x x xy C e C e C e    

　②两个为二重实根1 2 0     ，另一个为单实根3 时通解 0 31 2 3( )x xy C C x e C e   

　③三个为三重实根1 2 3 0       时的通解

　021 2 3( )xy C C x C x e    

　④一个为单实根1 ，另两个为共轭复根2,3i      时的通解

　 11xy C e  2 3( cos sin )xC x C x e     

　（2）四阶 (4)0 y py qy ry sy        

　特征方程4 3 20 p q r s         

　①四个相异实根1 2 3 4, , ,     时的通解 3 1 2 41 2 3 4x x x xy C e C e C e C e      

　②两个为二重实根1 2 01     ，另两个也为二重实根1 2 02     时的通解

　01 021 2 3 4( ) ( )x xy C C x e C C x e    

　③三个为三重实根1 2 3 0       ，另一个为单实根4 时通解 0 421 2 3 4( )x xy C C x C x e C e    

　 ④四个为四重实根1 2 3 4 0         时通解

　 02 31 2 3 4( )xy C C x C x C x e     

　 ⑤两个为二重实根1 2 0     ，另两个为相异实根3 4,   时的通解

　 01 3 41 2 3 4( )x x xy C C x e C e C xe     

　 ⑥两个为二重实根1 2 0     ，另两个为共轭复根3, 4i      时的通解

　01 2( )xy C C x e    3 4( cos sin )xC x C x e    

　 ⑦两个为相异实根1 2,   ，另两个为共轭复根3, 4i      时的通解

　1 21 2x xy C e C e   3 4( cos sin )xC x C x e    

　例题选讲例例 1 二阶常系数非齐次线性微分方程24 3 2xy y y e      的通解为

　。（2007 数学二）

　解解特征方程 24 3 0     

　特征根

　1 21, 3    

　余函数

　31 2x xy C e C e  

　设特解

　* 2xy Ae  ，代入非齐次方程可得 2 A

　得通解

　3 21 22x x xy C e C e e   

　例例 2 2 求微分方程2( ) y x y y      满足初始条件 (1) (1) 1 yy  的特解。（2007 数学二）

　解解（可降阶，不显含 y ）

　令 y p，则 y p    。于是，原方程可化为 2( ) p x p p   

　变形为

　 1 dxx pdp p 

　（将 x 作为 p 的函数，这点很关键！！！）

　则

　 ln ln1 1( ) ( )d p d pp p p px e pe dp C e pe dp C     

　 1( ) p p C  

　即

　1( ) x y y C    

　由 (1) 1y ，得10 C  ，则有2( ) y x   ，又由 (1) 1y 知，应取

　y x  解得

　32223y x C  

　由 (1) 1 y  ，得213C 

　故方程2( ) y x y y      满足初始条件 (1) (1) 1 yy  的特解为 322 13 3y x  

　例例 3 在下列微分方程中，以1 2 3cos2 sin2xy C e C x C x    为通解的微分方程是（

　）

　A、 4 4 0 y y y y       

　B、 4 4 0 y y y y       

　C、 4 4 0 y y y y       

　D、 4 4 0 y y y y       

　（2008 数学二）

　解解特征根为1 2,31, 2i     

　特征方程为 ( 1)( 2 )( 2 ) i i      2 3 2( 1)( 4) 4 4 0              ，故应选 D。

　例例 4 设 ( ) f x 是区间 [0, ]  上具有连续导数的单调增加函数，且 (0) 1 f  。对任意[0, ] t  ，直线 0, x x t   ，曲线 ( ) y f x  以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 ( ) f x 的表达式。（2008 数学二）

　解解由题设，有 2 20 02 ( ) 1 ( ) 2 ( )t tf x f x dx f x dx      （旋转体侧面面积公式，要记住！）

　即 2 20 0( ) 1 ( ) ( )t tf x f x dx f x dx     方程两边对 t 求导，得

　 2 2( ) ( ) 1 ( ) f t f t f t   

　解得

　 21ln( 1) y y t C     ，21)ty y Ce   

　由 (0) 1 y  ，得 1 C  。

　所以21)ty y e    ，或1( ) ( )2x xy f x e e     。

　例例 5 设非负函数 ( )( 0) y y x x   满足微分方程 2 0 xy y      ，当曲线 ( ) y y x  过原点时，其与直线 1 x 及 0 y  所围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转

　体体积。（2009 数学二）

　解解将微分方程 2 0 xy y      变形为 1 2( 0) y y xx x      （不显含 y ）（1）

　注意到方程（1）为关于y及 x 的一阶线性微分方程，则 1 112( ( ) 2 )dx dxx xy e e dx Cx    ln ln12( ( ) 2 )x xe e dx Cx   122( ( ) 2 ) x dx Cx   1 12( ) 2 2 x C C xx   

　于是，有 21 22 y C x x C   

　由 ( ) y y x  过原点，得20 C  ，则212 y C x x   。

　又由121102 ( 2 ) 13CC x x dx    ，得13 C  ，从而所求函数为 23 2 y x x  

　于是

　 1 12 3 20 02 (3 2 ) 2 (3 2 )yV x x x dx x x dx       176  。

　注意 1 用公式 2 ( )byaV xf x dx  要简便得多！（ ( ), [ , ] y f x x a b   ）

　注意 2 可降阶的高阶微分方程 07 年也考到，07、09 都为 ( , ) y f x y    （不显含 y ）型。

　例例 6 三阶常系数齐次线性微分方程 2 2 0 y y y y        的通解为

　。（2010数学二）

　解解特征方程为 3 22 2 0       

　因式分解得

　2( 2)( 1) 0     

　特征根为1 2,32, i     

　通解为 21 2 3cos sinxy C e C x C x   

　注意与 08 年类似。

　例例 7 设函数 ( ) y f x  由参数方程22,( 1)( )x t tty t    所确定，其中 ( ) t  具有二阶导数，且5(1) , (1) 62     。已知2234(1 )d ydx t，求函数 ( ) t  。（2010 数学二）

　解

　( )2 2dy tdx t 

　22( ) ( )( ) ( ) ( )2(1 ) 2(1 )d y d dy d t d t dtdx dx dx dx t dt t dx      

　2 3( )(1 ) ( ) 1 ( )(1 ) ( )2(1 ) 2(1 ) 4(1 )t t t t t tt t t              

　又2234(1 )d ydx t，则 2( )(1 ) ( ) 3(1 ) t t t t        

　变形为 1( ) ( ) 3(1 )1t t tt      （这是关于   及 t 的一阶线性微分方程）

　则

　 1 11 11( ) ( 3(1 ) )dt dtt tt e t e dt C      

　ln(1 ) ln(1 )1( 3(1 ) )t te t e dt C    

　21 1 1(1 )(3 ) 3 ( 3) t t C t C t C       

　由 (1) 6    ，得1 16 3 ( 3) C C     ，10 C 

　则

　2( ) 3 3 t t t    

　于是

　 3 223( )2t t t C    

　由5(1)2  ，得25 312 2C    ，20 C 

　所以有

　3 23( )2t t t   

　注意 1 一阶线性微分方程是考试重点注意 2 由参数方程( )( )x ty t 所确定的函数的导数也是考试的重点 22 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) [ ( )]dy t d y t t t tdx t dx t            

　其中公式 22 3( ) ( ) ( ) ( )[ ( )]d y t t t tdx t        可与曲率公式 3/2| ( ) ( ) ( ) ( )|[ ( )]t t t tt        联系起来记。

　例例 8 微分方程2( 0)x xy y e e     的特解的形式为（）

　A、 ( )x xa e e  

　 B、 ( )x xax e e  

　C、 ( )x xx ae be  

　 D、2 ()x xx ae be  

　（2011 数学二）

　解

　特征方程为2 20 r   

　特征为1 2, r r      （单根）

　2 xy y e   的特解可设为xxae  ，2 xy y e 的特解可设为xxbe  于是，应选 C。

　注意特解的可叠加性

　例例 9 微分方程 cosxy y e x 满足条件 (0) 0 y  的解 y 

　。

　（2011 数学二）

　解

　( cos )dx dxxy e e x e dx C     ( cos )x x xe e x e dx C    (sin )xe x C 

　由 (0) 0 y  ，得 0 C  ，则满足条件 (0) 0 y  的解 y  sinxe x

　意注意 1 应检验是否为 cosxy y e x 的解意注意 2 进一步说明：一阶线性微分方程是考试重点例例 10 设函数 ( ) y y x  具有二阶导数，且曲线 : ( ) l y y x  与直线 y x  相切于原点，记 为曲线 l 在点 ( , ) x y 外切线的倾角，若d dydx dx ，求 ( ) y y x  的表达式。（2011 数学二）

　解

　由 tan y    ，有 arctan y    ，从而21d ydx y   又由d dydx dx ，得 21yyy   即 2(1 ) y y y      （不显含 x ）

　令 y p，则dpy pdy ，从而有

　 2(1 )dpp p pdy 

　即

　 21dppdy  （此为 p 关于 y 的可分离变量的微分方程）

　解得 1arctan p y C  

　或

　 1tan( ) p y C  

　即

　 1tan( ) y y C 

　由 (0) 0, (0) 1 yy  ，得11 tanC  ，14C 。