高中数学公式完整版

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　 高中数学常用公式及常用结论

　包含关系1. BABABA ACCBAB

　 UU RCABACB

　UUnnnn },a,,aa{ 2222 2 非空的真子集有–

　个；

　 2．集合真子集有–1–1 个；非空子集有的子集个数共有个； n12 .

　个 充要条件 3.

　qpqp .

　是）充分条件：若充分条件，则

　 （1 qppq .

　是）必要条件：若必要条件，则（2 qpppqq .

　（3）充要条件：若是，则充要条件，且. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 函数的单调性 4.  x,a,bxxx

　(1)设那么 2112 )xf(f(x)  21  a在,b0f(x) 0(x)f(x)f(xx)

　上是增函数；

　2211 xx 21 )f(x)f(x  21 bx)在,a0f( 0f(x)(xx))f(x . 上是减函数

　2211 xx 21 )f0(yf(x)f(x)0f(x)fx(x)为减函，则，则(2)设函数为增函数；如果在某个区间内可导，如果.

　数 )(x)gg(x)f(xf(x) 如果函数也是减函数和函数如果函数 5.; 都是减函数,则在公共定义域内和, )](xf[gg(x)y)yf(uu .

　,则复合函数是增函数和在其对应的定义域上都是减函数 6．奇偶函数的图象特征反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么轴对称;奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y y轴对称，那么这个函数是偶函数．这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于bax)x(x)f)f(xa)f(byf(x Rx 两个函),;(7.对于函数恒成立,则函数的对称轴是函数

　2 bax )bxa)yf(yf(x .

　与的图象关于直线对称数

　2 a>0)

　(约定 8.几个函数方程的周期 )fa)(xf(x)f(x

　的周期（1），则 T=a；11)xa)(xax(f()0)f(f)(xf0))(f(x

　T=2a；,，或则（2），的周期

　 )(xf)(xf

　 分数指数幂 9. mm 1 1 

　 N,na0,a0,m,nNma 1nn1a nn .

　（(1)（，且，且.(2)））

　 mnm a

　a n

　．根式的性质 10 0a,a

　nnnnnn a(a) aa nn a|a| .

　为奇数时，；当为偶数时，.（1）（2）当 0a,a

　11．有理指数幂的运算性质

　rrsrsrrrsrs )Qb0,abr(a0,(s),a(0,rsQ(a)a(a0,r,Q)ab)aaa .

　.(2) (1)

　.(3) b NalogNb0)N0,a1,a( 指数式与对数式的互化式 12. .

　 a 1alog0log1

　：的对数等于负数和零没有对数，②①..10 底的对数等于，③.1，：

　aa

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　MNlogM(MN)logloglogMloglogN ， ，商的对数：④.积的对数：

　aaaaaa N n nn MloglogMn logblogb

　；幂的对数：

　aaa m a m

　 logN m Nlog a0a1m0m1N0 ).

　且且 (,,,13.对数的换底公式 ,

　 a loga m n n logbblogm,n0 m1na11N0a0 ). ,且,,( 推论且,,

　 a m a m n1s, 1 a {a}saaa ).

　数列项的和为 15.的前 n(  n2nn1n ss,n2 nn1 * aa(n1)ddnad(nN) ； 16.等差数列的通项公式 1n1 n(aa)n(n1)d1 2n1 (ad)dnnsna 项和公式为其前. n

　 n11 2222a *1nn1 )N(naaqq

　17.等比数列的通项公式；

　1n q n aaq )a(1q  n1 ,q1 1 ,q1 

　 q1 s s q1 .

　n 或项的和公式为其前   nn  1,qna 1qna,   11 18.同角三角函数的基本关系式

　 sin 22   1sincos tan

　，=

　 cos

　正弦、余弦的诱导公式 19 n 

　  ,sin(1) 2  n ) 为偶数(n  )sin(

　 

　2

　1n 

　 ,s(1)co 2  )

　(n 为奇数

　  sin)sincossin(cos ;

　20 和角与差角公式  sincos)coscos(sin ;

　 tantan  )tan( .

　 tan1tan

　b

　22    tan)b(a, cosbsina)bsin(a

　).的象限决定(辅助角=,所在象限由点

　a

　、二倍角的正弦、余弦和正切公式：21  cossin22sin

　．⑴ 2cos121cos 222222  2sincos22coscos1sin1 sincos

　⑵，（．）

　 22  tan2  2tan ⑶．

　2  tan1

　 22.三角函数的周期公式 2  )xcos(yysin(x)T ；的周期＞函数，≠Rx，∈及函数且ω∈，xR(A,,为常数，A0ω

　0)

　

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　精品文档    TZ,kkx)xtan(y . 的周期 A≠0 函数，ω＞(A,ω,0)为常数，且 ，

　  2

　 23.正弦定理 cbaR2 .

　CsinAsinBsin

　余弦定理24. 222222222 Bacosc22bccosAbcacabCcosa2bcab .

　;; 111BsinAcaabsinCbcsinS .

　）（225.面积定理

　222

　 三角形内角和定理26.  BAC  )B)AC2B2(ABCC2(A . 在△ABC 中，有

　222

　27.实数与向量的积的运算律 、μ为实数，那么设λ. +λb b+b b)=λa a=λa a+μ a;(3)第二分配律：λ(a aμ(1) 结合律：λ(μa a)=(λμ)a a;(2)第一分配律：(λ+)a a 28.向量的数量积的运算律：

　

　 aa aaa aaa

　· c=c. ··（ c +b（交换律）;(2)（b b））

　）· b= ;(3)（（·b b ）= =· +b·b b=(1)）

　）· b= b·

　30．向量平行的坐标表示 0yxyx(x,y)(x,y)

　 . 0),b b= 0a

　设=，则 ab(b，且 b b

　12211212 a aa

　 θ．||b b(与 b b 的数量积或内积)|cos·b b31.=| θ的乘积．的方向上的投影|b|cosa 的长度|a|与 b 在a

　32.数量积 a·b 等于 33.平面向量的坐标运算 )yx,yx)(x,y)((x,y .

　,b b=(1)设 a a= a+b=，则 21121122 )yx,y(x,y)(x(x,y)

　 .

　=(2)设 a a，则,b b=a a- - b= 21211122 )y)(x,(x,y )y,yOA(xxABOB .

　则

　(3)设 A,，B 21121221    )xR,(y(x,y), .

　 a a(4)设=，则 a= )yy,y)(xx((x,y)x . · b=，则,b b(5)设 a a==a a 22111212 yxyx  2211 (x,y)(x,y) cos a a ).

　==34.两向量的夹角 公式,b b(

　22112222 yyxx 2211 d |AB|ABAB

　=35.平面两点间的距离公式

　BA,

　22 )yy)((xx (x,y)(x,y) ).

　B，(A 22111122 36.向量的平行与垂直

　 (x,y)(x,y) 0 0，则,b b=设 a a= ，且 b b 2112  xyxy0 . a b=λA A||b b 1221  xxyy0  a a .

　 a a· b(ab=0)0 2211 37.三角形的重心坐标公式

　 A(x,y)B(x,y)C(x,y) ,则△ABC、的重心、的坐为个△ABC 三顶点的坐标分别标是322311 xxxyyy 322113 ,G() .

　 33A,B,Ca,b,c ABCO ，则设为所对边长分别为 所在平面上一点，角 222 OAOBOCOAOBOC0 ABCOABCO . （1）为的重心的外心.（2）为 OAOBOBOCOCOA ABCO . ）为的垂心（338.常用不等式：

　22  ab2baRba,

　)ba(1（）当且仅当＝时取“=”号．

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　  Ra,bab ）（2(当且仅当 a＝b 时取“=”号)．

　2 bbaaba

　）.3（ xyyxpx,yp2yx

　都是正数，则有（1）若积已知有最小值是定值，则当时和；39 1 2 ss xyyxyx 有最大值，则当时积. （2）若和是定值

　4 2 2

　 axaxxaa .

　40.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 22

　 ax aaxaxx .

　或 yy 21 k)y(x,x,y)PP( .

　、）斜率公式 （41.

　212112 xx 12

　 42.直线的五种方程 )yx,x)P(yyk(x kl

　 （1）点斜式 (直线．过点)，且斜率为 11111 bkxy l ).

　轴上的截距在（2）斜截式 (b 为直线 y xyxy 11 x)x(x,y(yyPx,y)P

　3）两点式)((、（)).

　 (

　 2221112121 xyyx 1212 yx1 0a、ba、b

　 分别为直线的横、纵截距，((4)截距式

　)

　 ba0ByAxC

　(其中（5）一般式 A、B 不同时为 0). 两条直线的平行和垂直 43. bx:yk:ykxbll .

　①(1)若，② 1kkbblll||lkk, ;2122112211111222 0CBy0l:Axl:AxByC ,

　,B 都不为零(2)若、B、,且 A、A 212122111122 CBA ① ；②； 111 ll||0llAABB

　21211221 CAB 222 0y0l:AxBCyl:AxBC ).

　,,( 0AABB 221112212211  ll . l 的夹角是时，直线 l 直线与 21

　21 2|CBy|Ax 00 d),yxP(0CAxBy l ).

　,直线(点：45.点到直线的距离

　0022 BA

　圆的四种方程 46.

　222 rb)y(xa)( .

　 （1）圆的标准方程 2222 0xyDxEyF FE4D 0). (

　（2）圆的一般方程＞ 直线与圆的位置关系 47. 222 ry(b)(xa)0ByCAx :

　与圆的位置关系有三种直线 0r相切dr相离0d ; ; AaBbCd 0dr相交 .

　.其中 22 BA

　两圆位置关系的判定方法 48.

　 dOO

　，，O 设两圆圆心分别为 O，，半径分别为rr 2121 21 drr外离4 条公切线 drr外切3 条公切线 ;

　; 2112 rrdrr相交2 条公切线 drr内切1 条公切线

　 ; ; 212121

　 0drr内含无公切线 .

　21

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　49.圆的切线方程

　22222 ryEyF0xxyDx

　(1)已知圆．(2)已知圆． 2 ),yP(xryxxy ;

　点的切线方程为①过圆上的 00000  cosax 22  yx1(ab0) 的参数方程是.

　50.椭圆 

　 22  ba sinby 2222 ayax

　 0)bx)1(aPFe(e)(xPF

　 焦半径公式，. 51.椭圆

　 2122 abcc 52．椭圆的的内外部

　2222 yxyx 00 1(ab0)1)P(x,y .

　（1）点在椭圆的内部

　 002222 abab 2222 yxyx 00 1(ab0)1),yP(x .

　的外部在椭圆（2）点

　 002222 abab 2222 ayxa

　 )x|PF|e(PF|e(0)x)1(a0,b| .

　，53.双曲线的焦半径公式

　 1222 cabc 54.双曲线的方程与渐近线方程的关系

　2222 yyxx b 10  .

　渐近线方程：）若双曲线方程为(1xy

　2222 abab a 22 yxxy b   0 .

　双曲线可设为(2)若渐近线方程为 xy

　22 abba a 2222 yxxy1 00 ，焦点在轴上，（y 轴上）(3)若双曲线与.

　，焦点在有公共渐近线，可设为 x

　 2222 abab 2 y2px 的焦半径公式 55. 抛物线

　p 2 y2px(p0)CFx

　 .

　抛物线焦半径

　0 2pp

　 CDxxxxp .

　过焦点弦长

　 2112 22

　22

　 )y(yAB(xx) 或 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 56. 2112

　2222 

　 tco|1|yxx)y|xx|1AB(1ktan)( (x,y),B(x,y) ，由方 A（弦端点2211211221 ykxb 2  0bxcax k0AB 为直线的斜率）为直线.

　 ，程, 消去 y 得到的倾斜角， F(x,y)0 57(1)加法交换律：a a＋b b=b b＋a a．(2)加法结合律：(a a＋b b)＋c c=a a＋(b b＋c c)．(3)数乘分配律：λ(a a＋b b)=λa a＋λb b．

　59 共线向量定理  存在实数λ使 a=λb． )(b≠0，a∥b 对空间任意两个向量 a、b APtAB  OP(1t)OAtOBAB||AP B、、PA .

　三点共线 60.向量的直角坐标运算

　(a,a,a)(b,b,b) a 则设＝，b b＝ 313221

　 a)()aa,,)b(ab,ab,aba(b,ab,a aaa

　(＝λ∈R)＝；(3)λ； ；(2)－b b(1)＋b b＝312113222133321 ababab a ；·b b＝(4) 312312 ABOBOA(xx,y)x,yz)(,y,zy,zz)x(, . ，则，B= 61.设A 121112221212 62．空间的线线平行或垂直 rr rrrrabab0  xxyyzz0 )),y,(axz,xb(y,z .

　，设，则 212121222111

　 夹角公式 63. 精品文档．

　精品文档 bbabaa 312132 )bb,b,,(aa,a)( aa .

　=，b 设，＝b＝〉，则 cos〈

　332121222222 bbabaa 331122 rrrr|zzyyx|x|b|a  212121 |b|cosa,cosrr

　64．异面直线所成角=

　222222 ||a||bzzxyxy 211221 rr oo   ba,a,b 900 ba,

　分别表示异面直线（其中）为异面直线（所成角，的方向向量）

　AB

　与平面所成角 65.直线 mAB   m sinarc ). (的法向量为平面

　||AB||mnnmm     nm coscosarcarc l 的法向量）.

　，66.二面角，或为平面（的平面角

　 |m||n||n|||m

　 134.空间两点间的距离公式

　 222 )z)(x)z(yy(x d)z,y,(y(x,,z)x ABAB||AB .

　，B，则 若 A=

　BA,212121122121

　，则 67.球的半径是 R 4 23  R4SRV ． ,其体积其表面积

　3

　(3) 球与正四面体的组合体:

　 66aaa 的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为棱长为.

　 41211ShVVSh hhSS .

　.（（是锥体的高）是柱体的底面积、是锥体的底面积、68 是柱体的高）

　 锥体柱体 33mNmm .

　69.分类计数原理（加法原理）

　n12 ！n m A * mn nm )1n(n1)(nm 10! .

　∈N，且注=.(:，规定)70.排列数公式 ．=

　n ！(nm) m An(n1)(nm1) ！n  mn C nm n * Nm ).

　N71.组合数公式 ，===(，且∈

　nm ！m)m！(n m12A mnmm1m0mm CCCCC1C .

　规定 72.组合数的两个性质(1)=.+注:= ;(2) nnnnnn1n nm1nn  rnm1mmm1mm CCCCCCC 2 ;

　 ; ;;（ 155.组合恒等式（1）2）（3）（4）=

　n11nnnnnn mnmm r0mm ！CAm

　.

　73.排列数与组合数的关系 nn nm 个元素的排列．单条件排列以下各条的大前提是从.

　个元素中取 74（1）“在位”与“不在位”

　m1mm11m1 AAAAA （着眼位置）①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）

　11nnnn11nm1m1 AAA （着眼元素）种.

　111nnm （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

　kmk AA)k(kmn .

　个元在固定位的排列有种①定位紧贴：

　knkknk1 AAn

　种个元排在一起的排法有注：此类问题常用捆绑法；.②浮动紧贴：个元素的全排列把 k knk1 1hk 个的一组互不能挨近的所有排，把它们合在一起来作全排列，k）k③插空：两组元素分别有、h 个（ kh AA .

　种列数有 1hh

　）两组元素各相同的插空（3

　 nm

　个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？个大球 n A n1m 1nnm1mC .

　时，有种排法时，无解；当当

　1mn A n

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　精品文档 n C .

　个，各组元素分别相同的排列数为）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n（4 nm

　75．分配问题 nnmm 数共有，其个人的，各得、分配方法个物件等分给件（1）(平均分组有归属问题)将相异 )!mn( nnnnn CCCNCC

　.

　nn2mnmnmnn2nm )!(nmnm

　堆，其分配方法数共有个物体等分为无记号或无顺序的(平均分组无归属问题)将相异的（2）

　· nnnnn CCC(mn)!C...C nn2nmnmnmn2n N

　.

　 m )!m!(nm!n)+nP(P=n+n+m ，个人，物件必须被分完，分别得到非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给（3）( 121m !!mp nnnnn n m nn

　.个数彼此不相等，„，且，„，件，，，则其分配方法数共有这m!C...CNC m21 1mm22

　nppn !!...nn!n m1 m12 nrnnr12n22rn0n1n bCabCabC)(abCaCab

　;

　76.二项式定理 nnnnnrrrn bCaT)，n，2(r0，1 .

　二项展开式的通项公式 nr1knkk .)(1P(k)CPP

　次的概率k77.n次独立重复试验中某事件恰好发生nn 1Pi1,2,)PP0( .

　）;78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）（2 21i  PxPExxP

　79.数学期望 n2n121

　  np)EB(nb)aE(,)bE(ap .

　,～则.（280..数学期望的性质（1））若 222   EEpDxEpxpxD .

　标准差 81.方差= n1n122  2  DDbaa np(1p)Dp)B(n, ，则(282.方差的性质(1)）若～； .

　 dydfyf(xx)f(x))ba,f(x)((x)ylimflim . 在 83..的导数

　 dxdxxx 0xx0 x)(xfy 处的导数的几何意义在点 84.. 函数 0 (x)(x))fxP(x,f)(yf(x)xyf ，相应的切线方程是在函数处的导数是曲线在点处的切线的斜率 0000 (x)(xx)yyf .

　000 85..几种常见函数的导数

　"n1  )Qnx(n(x)cosx(sinx) 0C .

　.(3) 为常数）(1) .(2) （C n 11 xxxxx a)ln)ae(a(ex(cosx)sina(lnx))(log . (5) (6) ；(4) ; ...

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