高中数学公式(完整版)

时间：2022-09-09 13:10:03 来源：文池范文网

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高中数学公式(完整版)

　高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B   U UA B C B C A    

　UA C B   UC A B R  

　 2．集合1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2 n

　个；真子集有 2 n –1 个；非空子集有 2 n

　–1 个；非空的真子集有 2 n –2个. 3.充要条件

　（1）充分条件：若 p q  ，则 p 是 q 充分条件. （2）必要条件：若 q p  ，则 p 是 q 必要条件. （3）充要条件：若 p q  ，且 q p  ，则 p 是 q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设  2 1 2 1, , x x b a x x    那么  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0 x x f x f x       b a x fx xx f x f, ) ( 0) ( ) (2 12 1在  上是增函数；  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0 x x f x f x       b a x fx xx f x f, ) ( 0) ( ) (2 12 1在  上是减函数. (2)设函数 ) (x f y  在某个区间内可导，如果 0 ) (  xf ，则 ) (x f 为增函数；如果 0 ) (  xf ，则 ) (x f 为减函数. 5.如果函数 ) (x f 和 ) (x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 ) ( ) ( x g x f  也是减函数; 如果函数) (u f y  和 ) (x g u  在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 )] ( [ x g f y  是增函数. 6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数 ) (x f y  ( R x ), ) ( ) ( x b f a x f    恒成立,则函数 ) (x f 的对称轴是函数2b ax ;两个函数 ) ( a x f y   与 ) ( x b f y  

　的图象关于直线2b ax 对称. 8.几个函数方程的周期(约定 a>0) （1）

　) ( ) ( a x f x f   ，则 ) (x f 的周期 T=a；（2）， ) 0 ) ( () (1) (    x fx fa x f ，或1( )( )f x af x   ( ( ) 0) f x  ,则 ) (x f 的周期 T=2a； 9.分数指数幂

　(1)1mnn maa （ 0, , a m n N  ，且 1 n ）.(2)1mnmnaa （ 0, , a m n N  ，且 1 n ）. 10．根式的性质

　（1）

　( ) nna a  .（2）当 n 为奇数时，n na a  ；当 n 为偶数时，, 0| |, 0n na aa aa a    . 11．有理指数幂的运算性质 (1)

　( 0, , )r s r sa a a a r s Q    .(2) ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q    .(3) ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q     . 12.指数式与对数式的互化式

　logbaN b a N    ( 0, 1, 0) a a N    . ①.负数和零没有对数，②.1 的对数等于 0：

　0 1 log a，③.底的对数等于 1：

　1 log  aa， ④.积的对数：

　N M MNa a alog log ) ( log   ，商的对数：

　N MNMa a alog log log   ，

　幂的对数：

　M n Manalog log  ； bmnbana mlog log 

　 13.对数的换底公式 logloglogmamNNa

　( 0 a  ,且 1 a  , 0 m ,且 1 m  ,

　0 N  ). 推论 log logmnaanb bm ( 0 a  ,且 1 a  , , 0 m n  ,且 1 m  , 1 n ,

　0 N  ). 15.11, 1, 2nn ns nas s n   ( 数列 { }na 的前 n 项的和为1 2 n ns a a a     ). 16.等差数列的通项公式*1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N        ；其前 n 项和公式为1( )2nnn a as1( 1)2n nna d 211( )2 2dn a d n    . 17.等比数列的通项公式1 *11( )n nnaa a q q n Nq    ；其前 n 项的和公式为11(1 ), 11, 1nna qqs qna q  或11, 11, 1nna a qqq sna q   . 18.同角三角函数的基本关系式

　2 2sin cos 1     ， tan  =cossin 19 正弦、余弦的诱导公式 212( 1) sin ,sin( )2( 1) s ,nnnco  

　 20 和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin          ; cos( ) cos cos sin sin         ; tan tantan( )1 tan tan     . sin cos a b    =2 2sin( ) a b     (辅助角  所在象限由点 ( , ) a b 的象限决定, tanba 

　21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

　⑴ sin2 2sin cos     ． ⑵2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin            （21 cos2cos2 ，21 cos2sin2 ）． ⑶22tantan21 tan． 22.三角函数的周期公式

　函数 sin( ) y x     ，x∈R 及函数 cos( ) y x     ，x∈R(A,ω,  为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期2T ；函数 tan( ) y x     ， ,2x k k Z    (A,ω,  为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 T . 23.正弦定理

　(n 为偶数)

　(n 为奇数)

　2sin sin sina b cRA B C   . 24.余弦定理 2 2 22 cos a b c bc A    ;2 2 22 cos b c a ca B    ;2 2 22 cos c a b ab C    . 25.面积定理1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B    （2）. 26.三角形内角和定理

　在△ABC 中，有 ( ) A B C C A B         2 2 2C A B     2 2 2( ) C A B      . 27.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa a)=(λμ)a a;(2)第一分配律：(λ+μ)a a=λa a+μ a;(3)第二分配律：λ(a a+b b)=λa a+λb b. 28.向量的数量积的运算律：

　(1)

　 a a · b= b· a a

　（交换律）;(2)（  a a ）

　）· b=  （ a a ·b b ）= =  a a ·b b=

　 a a ·（  b b）;(3)（ a a + +b b）

　）· c=

　 a a

　 · c +b· c. 30．向量平行的坐标表示

　设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，且 b b  0 0，则 a a b(b  0)1 2 2 10 x y x y    .

　31.

　 a a 与 b b 的数量积(或内积) a a ·b b=| a a ||b b|cosθ．

　32.数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 33.平面向量的坐标运算 (1)设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，则 a+b=1 2 1 2( , ) x x y y   . (2)设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，则 a a- - b=1 2 1 2( , ) x x y y   .

　(3)设 A1 1( , ) x y ，B2 2( , ) x y ,则2 1 2 1( , ) AB OB OA x x y y      . (4)设 a a= ( , ), x y R   ，则  a= ( , ) x y   . .

　(5)设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，则 a a· b=1 2 1 2( ) x x y y  . 34.两向量的夹角公式1 2 1 22 2 2 21 1 2 2cosx x y yx y x y  ( a a =1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ). 35.平面两点间的距离公式 , A Bd = | | AB AB AB  

　2 22 1 2 1( ) ( ) x x y y     (A1 1( , ) x y ，B2 2( , ) x y ). 36.向量的平行与垂直

　设 a a=1 1( , ) x y ,b b=2 2( , ) x y ，且 b b  0 0，则 A A||b b  b b=λa a

　1 2 2 10 x y x y    . a a  b(a  0)  a a ·b b= =01 2 1 20 x x y y    . 37.三角形重心坐标公式

　△ ABC 三个顶点的坐标分别为1 1A(x ,y ) 、2 2B(x ,y ) 、3 3C(x ,y ) , 则 △ ABC 的重心的坐标是1 2 3 1 2 3( , )3 3x x x y y yG   . 设 O 为 ABC  所在平面上一点，角 , , A B C 所对边长分别为 , , a b c ，则（1）

　O 为 ABC  的外心2 2 2OA OB OC    .（2）

　O 为 ABC  的重心 0 OA OB OC     . （3）

　O 为 ABC  的垂心 OA OB OB OC OC OA       . 38.常用不等式：

　（1）

　, a b R  2 22 a b ab   (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．（2）

　, a b R   2a bab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．（3）

　b a b a b a      .

　39 已知 y x, 都是正数，则有（1）若积 xy 是定值 p ，则当 y x  时和 y x 有最小值 p 2 ；（2）若和 y x 是定值 s ，则当 y x  时积 xy 有最大值241s . 40.含有绝对值的不等式当 a> 0 时，有22x a x a a x a        . 2 2x a x a x a      或 x a   . 41.斜率公式 2 12 1y ykx x（1 1 1( , ) P x y 、2 2 2( , ) P x y ）. 42.直线的五种方程

　（1）点斜式 1 1( ) y y k x x   

　(直线 l 过点1 1 1( , ) P x y ，且斜率为 k )．（2）斜截式 y kx b   (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). （3）两点式 1 12 1 2 1y y x xy y x x  (1 2y y  )(1 1 1( , ) P x y 、2 2 2( , ) P x y

　(1 2x x  )). (4)截距式

　1x ya b  ( a b 、分别为直线的横、纵截距， 0 a b 、 )

　（5）一般式 0 Ax By C    (其中 A、B 不同时为 0). 43.两条直线的平行和垂直

　(1)若1 1 1: l y k x b   ，2 2 2: l y k x b   ①1 2 1 2 1 2|| , l l k k b b    ; ②1 2 1 21 l l k k     . (2)若1 1 1 1: 0 l Ax B y C    ,2 2 2 2: 0 l A x B y C    ,且 A 1 、A 2 、B 1 、B 2 都不为零, ①1 1 11 22 2 2||A B Cl lA B C   ；②1 2 1 2 1 20 l l A A B B     ； (1 1 1 1: 0 l Ax B y C    ,2 2 2 2: 0 l A x B y C    ,1 2 1 20 A A B B   ). 直线1 2l l  时，直线 l 1 与 l 2 的夹角是2. 45.点到直线的距离 0 02 2| | Ax By CdA B (点0 0( , ) P x y ,直线 l ：

　0 Ax By C    ).

　46. 圆的四种方程（1）圆的标准方程

　2 2 2( ) ( ) x a y b r     . （2）圆的一般方程

　2 20 x y Dx Ey F      (2 24 D E F   ＞0). 47.直线与圆的位置关系直线 0    C By Ax 与圆2 2 2) ( ) ( r b y a x     的位置关系有三种: 0      相离 r d ; 0      相切 r d ; 0      相交 r d .其中2 2B AC Bb Aad  . 48.两圆位置关系判定方法设两圆圆心分别为 O 1 ，O 2 ，半径分别为 r 1 ，r 2 ， d O O 2 1 条公切线外离 42 1    r r d ; 条公切线外切 32 1    r r d ; 条公切线相交 22 1 2 1      r r d r r ; 条公切线内切 12 1    r r d ; 无公切线内含    2 10 r r d . 49.圆的切线方程 (1)已知圆2 20 x y Dx Ey F      ．(2)已知圆2 2 2x y r   ． ①过圆上的0 0 0( , ) P x y 点的切线方程为20 0x x y y r   ;

　50.椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    的参数方程是cossinx ay b . 51.椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    焦半径公式

　 ) (21cax e PF   ， ) (22xcae PF   . 52．椭圆的的内外部（1）点0 0( , ) P x y 在椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    的内部2 20 02 21x ya b   . （2）点0 0( , ) P x y 在椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    的外部2 20 02 21x ya b   . 53.双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的焦半径公式21| ( )|aPF e xc  ，22| ( )|aPF e xc  . 54.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12222 byax 渐近线方程：2 22 20x ya b   xaby   . (2)若渐近线方程为 xaby    0  byax 双曲线可设为   2222byax. (3)若双曲线与 12222 byax有公共渐近线，可设为   2222byax（ 0   ，焦点在 x 轴上， 0   ，焦点在 y 轴上）. 55. 抛物线 px y 22 的焦半径公式抛物线22 ( 0) y px p   焦半径02pCF x   . 过焦点弦长 p x xpxpx CD       2 1 2 12 2. 56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2 21 2 1 2( ) ( ) AB x x y y     或 2 2 2 22 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 t AB k x x x x y y co            （弦端点 A ) , ( ), , (2 2 1 1y x B y x ，由方程 0 ) y , x ( Fb kx y 消去 y 得到 02   c bx ax ， 0   ,  为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）.

　57(1)加法交换律：a a＋b b=b b＋a a．(2)加法结合律：(a a＋b b)＋c c=a a＋(b b＋c c)．(3)数乘分配律：λ(a a＋b b)=λa a＋λb b． 59 共线向量定理对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b  存在实数λ使 a=λb． P A B 、、三点共线  || AP AB  AP tAB   (1 ) OP t OA tOB    . 60.向量的直角坐标运算设 a a ＝1 2 3( , , ) a a a ，b b＝1 2 3( , , ) b b b 则 (1) a a ＋b b＝1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b    ；(2) a a －b b＝1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b    ；(3)λ a a ＝1 2 3( , , ) a a a   

　(λ∈R)； (4) a a ·b b＝1 1 2 2 3 3ab a b a b   ； 61.设 A1 1 1( , , ) x y z ，B2 2 2( , , ) x y z ，则 AB OB OA   = 2 1 2 1 2 1( , , ) x x y y z z    . 62．空间的线线平行或垂直设1 1 1( , , ) a x y z r，2 2 2( , , ) b x y z r，则 a b r r 0 a b  r r1 2 1 2 1 20 x x y y z z    . 63.夹角公式

　设 a a ＝1 2 3( , , ) a a a ，b b＝1 2 3( , , ) b b b ，则 cos〈 a a ，b b〉=1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3ab a b a ba a a b b b    . 64．异面直线所成角 cos |cos , | a b  r r=1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2| | | || | | |x x y y z z a ba b x y z x y z       r rr r

　（其中  （ 0 90   o o ）为异面直线 a b ,所成角， , a br r分别表示异面直线 a b , 的方向向量）

　65.直线 AB 与平面所成角 sin| || |AB marcAB m ( m 为平面  的法向量). 66.二面角 l     的平面角 cos| || |m narcm n 或 cos| || |m narcm n （ m ， n 为平面  ，  的法向量）. 134.空间两点间的距离公式

　若 A1 1 1( , , ) x y z ，B2 2 2( , , ) x y z ，则 , A Bd = | | AB AB AB  2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) x x y y z z       . 67.球的半径是 R，则其体积343V R   ,其表面积24 S R   ．

　(3) 球与正四面体的组合体:

　棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为612a ,外接球的半径为64a . 6813V Sh 柱体（ S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高）.13V Sh 锥体（ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高）. 69.分类计数原理（加法原理）1 2 nN m m m     . 70.排列数公式

　mnA = ) 1 ( ) 1 (    m n n n  =！！) ( m nn.( n ， m ∈N N* ，且 mn  )．注:规定 1 ! 0  . 71.组合数公式

　mnC =mnmmAA=mm n n n    2 1) 1 ( ) 1 (=！

　！！) ( m n mn ( n ∈N N* ， mN  ，且 m n  ). 72.组合数的两个性质(1)mnC =m nnC ;(2) mnC +1  mnC =mnC1 .注:规定 10nC .

　155.组合恒等式（1）11m mn nn mC Cm  ;（2）1m mn nnC Cn m;（3）11m mn nnC Cm ;

　（4）

　nrrnC0=n2 ; 73.排列数与组合数的关系m mn nA m C   ！

　 . .

　74．单条件排列以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11mnA 种；②某（特）元不在某位有11mnmnA A （补集思想）1111 mn nA ...

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